Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{(- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1] - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{3}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x (- 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $- 9$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.8

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.10

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + 0) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.12

Добавим $- 27 x^{2} + 8 x - 5$ и $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.2.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 27 x \cdot x^{2} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x^{1}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 27 x^{2 + 1} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x \cdot x + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.5

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 \cdot x - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.6

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.8

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Объединим противоположные члены в $- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.2.2

Добавим $- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.3

Добавим $- 27 x^{3}$ и $9 x^{3}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3.4

Вычтем $4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 18 x^{3}$ .

$\frac{- (18 x^{3}) + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2})$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)}{x^{2}}$

Этап 1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.3.9

Перепишем $- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ в виде $- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ .

$\frac{- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}] + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $18 x^{3} - 4 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{3}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{2} (18 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{x^{2} (18 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.5

Умножим $3$ на $18$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.8

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + 0) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.10

Добавим $54 x^{2} - 8 x$ и $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.12.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (54 x^{2} - 8 x)$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.12.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.12.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ на $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + 0$

Этап 2.6.2

Добавим $- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$ и $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{54 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- \frac{54 (x^{2} x) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{54 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{54 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{54 x^{3} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{54 x^{3} - 8 x \cdot x - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 (x \cdot x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.5

Умножим $18$ на $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.1.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.2

Объединим противоположные члены в $54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.1

Добавим $- 8 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} + 0 - 2}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.2.2

Добавим $54 x^{3} - 36 x^{3}$ и $0$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Этап 2.7.3.3

Вычтем $36 x^{3}$ из $54 x^{3}$ .

$- \frac{18 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Этап 2.7.4

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{3}$ .

$- \frac{2 (9 x^{3}) - 2}{x^{3}}$

Этап 2.7.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{3}}$

Этап 2.7.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$

Этап 3.2

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $9 x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{3}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3.5

Умножим $3$ на $9$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + 0) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3.7

Добавим $27 x^{2}$ и $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2}) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 \frac{x^{2} x^{3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \frac{x^{2 + 3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.4.3

Добавим $2$ и $3$ .

$- 2 \frac{x^{5} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.5

Перенесем $27$ влево от $x^{5}$ .

$- 2 \frac{27 \cdot x^{5} - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - (9 x^{3} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.7.2

Объединим $- 2$ и $\frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{- 2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (27 x^{5} + (- 3 (9 x^{3}) - 3 \cdot - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3}) x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (27 x^{5}) + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1.1

Умножим $27$ на $2$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 (x^{2} x^{3}))) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{2 + 3})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.1.2.3

Добавим $2$ и $3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{5})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.1.3

Умножим $9$ на $- 3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 27 x^{5}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.1.4

Умножим $- 27$ на $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.1.6

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.2

Вычтем $54 x^{5}$ из $54 x^{5}$ .

$- \frac{0 + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.8.4.3

Добавим $0$ и $6 x^{2}$ .

$- \frac{6 x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.8.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{6}}$

Этап 3.8.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Этап 3.8.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Этап 3.8.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f''' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{6}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 x^{- 5})$

Этап 4.4

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$24 x^{- 5}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.5.2

Объединим $24$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{x^{5}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{24}{x^{5}}$ .

$\frac{24}{x^{5}}$