Математический анализ Примеры

$\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{x^{2} - 3} - x > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $x$ к обеим частям неравенства.

$\sqrt{x^{2} - 3} > x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 3}}^{2} > x^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 3}$ в виде ${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 3)}^{1} > x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 3 > x^{2}$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 3 - x^{2} > 0$

Этап 2.4.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 3 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$0 - 3 > 0$

Этап 2.4.1.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3 > 0$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 3 < 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 3$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Этап 4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Этап 4.4

Запишем $| x | \geq \sqrt{3}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq \sqrt{3}$

Этап 4.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Этап 4.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.5

Найдем пересечение $x \geq \sqrt{3}$ и $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Этап 4.6

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{3}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 4.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 4.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Этап 4.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Этап 4.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Этап 4.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - \sqrt{3}$ или $x \geq \sqrt{3}$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Этап 6