Математический анализ Примеры

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{50}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{50}$ по $x$ равна $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ на $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.2.3

Объединим $\frac{1}{50}$ и $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x)$

Этап 1.1.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x$

Этап 1.1.3.4.2

Объединим $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ и $x$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{50}$

Этап 1.1.3.4.3

Сократим общий множитель $2$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{50}$

Этап 1.1.3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{25}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ по $x$ равна $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.2

$\frac{1}{25} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ и $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{25} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.4.3

Объединим $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ и $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{25} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1)$

Этап 1.2.10

Умножим $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ на $1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Этап 1.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Этап 1.2.11.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Умножим $\frac{1}{25}$ на $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Этап 1.2.11.2.2

Умножим $25$ на $25$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Этап 1.2.11.2.3

Объединим $\frac{1}{25}$ и $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 5, 5$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 5$ в $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $25$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Этап 3.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Подставляя $- 5$ в $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ , найдем точку $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.3

Подставим $5$ в $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $25$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.4

Подставляя $5$ в $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ , найдем точку $(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 5.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 5.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.4

Разделим $26.01$ на $50$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.5

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.6

Возведем $2.71828182$ в степень $0.5202$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.7

Умножим $625$ на $1.68236408$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.8

Разделим $26.01$ на $1051.47755554$ .

$f'' (- 5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.9

Умножим $- 1$ на $0.02473661$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 5.2.1.10

Перенесем $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}$

Этап 5.2.1.11

Возведем $- 5.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Этап 5.2.1.12

Разделим $26.01$ на $50$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Этап 5.2.2

Добавим $- 0.02473661$ и $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.00096055$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Этап 5.3

При $- 5.1$ вторая производная имеет вид $- 0.00096055$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 5)$ .

Убывание на $(- \infty, - 5)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 5, 5)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.2.2

Разделим $0$ на $50$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- 0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \cdot 1}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.4

Разделим $0$ на $625$ .

$f'' (0) = - 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{0}{50}}}{25}$

Этап 6.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Разделим $0$ на $50$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- 0}}{25}$

Этап 6.2.1.7.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{0}}{25}$

Этап 6.2.1.7.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{1}{25}$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{25}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{25}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{25}$ .

$\frac{1}{25}$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $0.04$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 5, 5)$ .

Возрастание в области $(- 5, 5)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(5, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5.1$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2} e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перенесем $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $5.1$ в степень $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{5.1}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $5.1$ в степень $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.4

Разделим $26.01$ на $50$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.5

Заменим $e$ приближением.

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.6

Возведем $2.71828182$ в степень $0.5202$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $625$ на $1.68236408$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.8

Разделим $26.01$ на $1051.47755554$ .

$f'' (5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.9

Умножим $- 1$ на $0.02473661$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Этап 7.2.1.10

Перенесем $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}}$

Этап 7.2.1.11

Возведем $5.1$ в степень $2$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Этап 7.2.1.12

Разделим $26.01$ на $50$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Этап 7.2.2

Добавим $- 0.02473661$ и $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.00096055$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Этап 7.3

При $5.1$ вторая производная имеет вид $- 0.00096055$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(5, \infty)$ .

Убывание на $(5, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 9