Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{18}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x^{2}}{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x^{2}}{18}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{18}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{18}]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x^{2}}{18}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{18}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{18}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{18}$ по $x$ равна $- \frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{18}} (- \frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.2.2

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ и $\frac{1}{18}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} (2 x)$

Этап 1.1.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} x$

Этап 1.1.2.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} x$

Этап 1.1.2.4.3

Объединим $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18}$ и $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{18}} x}{18}$

Этап 1.1.2.4.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{18}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{18}} x)}{18}$

Этап 1.1.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{18}} x)}{2 (9)}$

Этап 1.1.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{18}} x)}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{18}} x}{9}$

Этап 1.1.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}} x}{9}$

Этап 1.1.2.4.5.2

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{x^{2}}{18}} x$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9}$ по $x$ равна $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{18}}]$ .

$- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{18}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ .

$- \frac{1}{9} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{18}}] + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x^{2}}{18}$ .

$- \frac{1}{9} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{18}]) + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.2

$- \frac{1}{9} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{18}]) + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x^{2}}{18}$ .

$- \frac{1}{9} (x (e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{18}]) + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

$- \frac{1}{9} (x (e^{- \frac{x^{2}}{18}} (- \frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ и $\frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{9} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18}$ .

$- \frac{1}{9} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{9} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{9} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18} x + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{18}$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{18} x + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4.4.3

Объединим $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{18}$ и $x$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{18}}) x}{18} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{18} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{18} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{9} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{18} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{18} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{18} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{2 (9)} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{9} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}})}{2 \cdot 9} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{9} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{9} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{9} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} + e^{- \frac{x^{2}}{18}} \cdot 1)$

Этап 1.2.10

Умножим $e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{9} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} + e^{- \frac{x^{2}}{18}})$

Этап 1.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{9} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9}) - \frac{1}{9} e^{- \frac{x^{2}}{18}}$

Этап 1.2.11.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{9}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} - \frac{1}{9} e^{- \frac{x^{2}}{18}}$

Этап 1.2.11.2.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} - \frac{1}{9} e^{- \frac{x^{2}}{18}}$

Этап 1.2.11.2.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9 \cdot 9} - \frac{1}{9} e^{- \frac{x^{2}}{18}}$

Этап 1.2.11.2.4

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{81} - \frac{1}{9} e^{- \frac{x^{2}}{18}}$

Этап 1.2.11.2.5

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ и $\frac{1}{9}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{18}}}{9} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 3, 3$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 3$ в $f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = e^{- \frac{{(- 3)}^{2}}{18}}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = e^{- \frac{9}{18}}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f (- 3) = e^{- \frac{9 (1)}{18}}$

Этап 3.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$f (- 3) = e^{- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = e^{- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 3) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Подставляя $- 3$ в $f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ , найдем точку $(- 3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.3

Подставим $3$ в $f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = e^{- \frac{{(3)}^{2}}{18}}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = e^{- \frac{9}{18}}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f (3) = e^{- \frac{9 (1)}{18}}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$f (3) = e^{- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = e^{- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.4

Подставляя $3$ в $f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{18}}$ , найдем точку $(3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{{(- 3.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{{(- 3.1)}^{2}}{81 e^{\frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{{(- 3.1)}^{2}}{81 e^{\frac{9.61}{18}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{9.61}{81 e^{\frac{9.61}{18}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.4

Разделим $9.61$ на $18$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{9.61}{81 e^{0.533\overline{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.5

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 3.1) = \frac{9.61}{81 \cdot {2.71828182}^{0.533\overline{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.6

Возведем $2.71828182$ в степень $0.533\overline{8}$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{9.61}{81 \cdot 1.70555213} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.7

Умножим $81$ на $1.70555213$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{9.61}{138.14972262} - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.8

Разделим $9.61$ на $138.14972262$ .

$f'' (- 3.1) = 0.0695622 - \frac{e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 5.2.1.9

Перенесем $e^{- \frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.1) = 0.0695622 - \frac{1}{9 e^{\frac{{(- 3.1)}^{2}}{18}}}$

Этап 5.2.1.10

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = 0.0695622 - \frac{1}{9 e^{\frac{9.61}{18}}}$

Этап 5.2.1.11

Разделим $9.61$ на $18$ .

$f'' (- 3.1) = 0.0695622 - \frac{1}{9 e^{0.533\overline{8}}}$

Этап 5.2.2

Вычтем $\frac{1}{9 e^{0.533\overline{8}}}$ из $0.0695622$ .

$f'' (- 3.1) = 0.00441549$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.00441549$ .

$0.00441549$

Этап 5.3

При $- 3.1$ вторая производная имеет вид $0.00441549$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 3)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 3, 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.2.2

Разделим $0$ на $18$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{81} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{81} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{81} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{81} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.4

Разделим $0$ на $81$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{18}}}{9}$

Этап 6.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Разделим $0$ на $18$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{9}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{9}$

Этап 6.2.1.6.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{9}$

Этап 6.2.2

Вычтем $\frac{1}{9}$ из $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{9}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{9}$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 0.\overline{1}$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 3, 3)$ .

Убывание на $(- 3, 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = \frac{{(3.1)}^{2} e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{81} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перенесем $e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3.1) = \frac{{(3.1)}^{2}}{81 e^{\frac{{3.1}^{2}}{18}}} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $3.1$ в степень $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{{3.1}^{2}}{81 e^{\frac{9.61}{18}}} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $3.1$ в степень $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{9.61}{81 e^{\frac{9.61}{18}}} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.4

Разделим $9.61$ на $18$ .

$f'' (3.1) = \frac{9.61}{81 e^{0.533\overline{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.5

Заменим $e$ приближением.

$f'' (3.1) = \frac{9.61}{81 \cdot {2.71828182}^{0.533\overline{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.6

Возведем $2.71828182$ в степень $0.533\overline{8}$ .

$f'' (3.1) = \frac{9.61}{81 \cdot 1.70555213} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $81$ на $1.70555213$ .

$f'' (3.1) = \frac{9.61}{138.14972262} - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.8

Разделим $9.61$ на $138.14972262$ .

$f'' (3.1) = 0.0695622 - \frac{e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}}{9}$

Этап 7.2.1.9

Перенесем $e^{- \frac{{(3.1)}^{2}}{18}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3.1) = 0.0695622 - \frac{1}{9 e^{\frac{{3.1}^{2}}{18}}}$

Этап 7.2.1.10

Возведем $3.1$ в степень $2$ .

$f'' (3.1) = 0.0695622 - \frac{1}{9 e^{\frac{9.61}{18}}}$

Этап 7.2.1.11

Разделим $9.61$ на $18$ .

$f'' (3.1) = 0.0695622 - \frac{1}{9 e^{0.533\overline{8}}}$

Этап 7.2.2

Вычтем $\frac{1}{9 e^{0.533\overline{8}}}$ из $0.0695622$ .

$f'' (3.1) = 0.00441549$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.00441549$ .

$0.00441549$

Этап 7.3

При $3.1$ вторая производная имеет вид $0.00441549$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- 3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (3, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 9