Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} (5 x + 20)$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 5 x + 20$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 20] + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $5 x + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{3} (5 + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (5 + 0) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$x^{3} \cdot 5 + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.6.2

Перенесем $5$ влево от $x^{3}$ .

$5 \cdot x^{3} + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{3} + (5 x + 20) (3 x^{2})$

Этап 1.1.2.8

Перенесем $3$ влево от $5 x + 20$ .

$5 x^{3} + 3 \cdot (5 x + 20) x^{2}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{3} + (3 (5 x) + 3 \cdot 20) x^{2}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{3} + 3 (5 x) x^{2} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Этап 1.1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $5$ на $3$ .

$5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Этап 1.1.3.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 (x^{2} x) + 3 \cdot 20 x^{2}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 20 x^{2}$

Этап 1.1.3.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{3} + 15 x^{2 + 1} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Этап 1.1.3.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$5 x^{3} + 15 x^{3} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Этап 1.1.3.3.3

Умножим $3$ на $20$ .

$5 x^{3} + 15 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.1.3.3.4

Добавим $5 x^{3}$ и $15 x^{3}$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $20 x^{3} + 60 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{2}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $60 x$ из $60 x^{2} + 120 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $60 x$ из $60 x^{2}$ .

$60 x (x) + 120 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $60 x$ из $120 x$ .

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $60 x$ из $60 x (x) + 60 x (2)$ .

$60 x (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $60 x (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} (5 (0) + 20)$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 (5 (0) + 20)$

Этап 3.1.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = 0 (0 + 20)$

Этап 3.1.2.3

Добавим $0$ и $20$ .

$f (0) = 0 \cdot 20$

Этап 3.1.2.4

Умножим $0$ на $20$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $- 2$ в $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} (5 (- 2) + 20)$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = - 8 (5 (- 2) + 20)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 (- 10 + 20)$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 10$ и $20$ .

$f (- 2) = - 8 \cdot 10$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 8$ на $10$ .

$f (- 2) = - 80$

Этап 3.3.2.5

Окончательный ответ: $- 80$ .

$- 80$

Этап 3.4

Подставляя $- 2$ в $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ , найдем точку $(- 2, - 80)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, - 80)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $60$ на $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $120$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

Этап 5.2.2

Вычтем $252$ из $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $12.6$ .

$12.6$

Этап 5.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $12.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $60$ на $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $120$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

Этап 6.2.2

Вычтем $120$ из $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 60$ .

$- 60$

Этап 6.3

При $- 1$ вторая производная имеет вид $- 60$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2, 0)$ .

Убывание на $(- 2, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $60$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $120$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

Этап 7.2.2

Добавим $0.6$ и $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $12.6$ .

$12.6$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $12.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

Этап 9