Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{3}{32}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{32} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3}{32} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{32}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $\frac{6}{32}$ и $x$ .

$\frac{6 x}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (16)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x}{16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{- 2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 x^{- 3}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{3}{16}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{16}$ по $x$ равна $\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{16} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $\frac{3}{16}$ на $1$ .

$\frac{3}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x^{3}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 1.2.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 1.2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 1.2.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Этап 1.2.3.8

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{3}{16} - 24 x^{- 4}$

Этап 1.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{16} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{16} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Этап 1.2.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{16} - \frac{24}{x^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $\frac{3}{16}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{4}, 16$

Этап 2.3.2

Так как $x^{4}, 16$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 16$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{4}$ .

Этап 2.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.3.5

Простыми множителями $16$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 8$

Этап 2.3.5.2

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 2.3.5.3

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.3.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.3.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2$

Этап 2.3.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16$

Этап 2.3.7

Множители $x^{4}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $4$ раз.

Этап 2.3.8

НОК $x^{4}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 2.3.9

Упростим $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Этап 2.3.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Этап 2.3.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Этап 2.3.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Этап 2.3.9.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Этап 2.3.9.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1}$

Этап 2.3.9.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4}$

Этап 2.3.10

НОК $x^{4}, 16$ представляет собой произведение числовой части $16$ и переменной части.

$16 x^{4}$

Этап 2.4

Каждый член в $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ умножим на $16 x^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ на $16 x^{4}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{24}{x^{4}}$ в числитель.

$\frac{- 24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $16 x^{4}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 24 \cdot 16 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 24$ на $16$ .

$- 384 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{16}$ в числитель.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.3.1.2

Вынесем множитель $16$ из $16 x^{4}$ .

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 (x^{4}))$

Этап 2.4.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Этап 2.4.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 384 = - 3 x^{4}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x^{4} = - 384$ .

$- 3 x^{4} = - 384$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 3 x^{4} = - 384$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 3 x^{4} = - 384$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} = \frac{- 384}{- 3}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $- 384$ на $- 3$ .

$x^{4} = 128$

Этап 2.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{128}$

Этап 2.5.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{128}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем $128$ в виде $2^{4} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Вынесем множитель $16$ из $128$ .

$x = \pm \sqrt[4]{16 (8)}$

Этап 2.5.4.1.2

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{4} \cdot 8}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt[4]{8}$

Этап 2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt[4]{8}$

Этап 2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt[4]{8}$

Этап 2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt[4]{8}, - 2 \sqrt[4]{8}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 \sqrt[4]{8}$ в $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.4

Объединим $\frac{3}{8}$ и ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ в виде $\sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.5

Перепишем $8^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.2

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.5.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.6

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.1.2.1.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.8.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.8.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.8.3

Перепишем ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ в виде $\sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.8.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.8.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Этап 3.1.2.1.8.3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Этап 3.1.2.1.8.3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.8.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Этап 3.1.2.1.8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.8.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Этап 3.1.2.1.8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Этап 3.1.2.1.8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.1.2.1.8.3.5

Перепишем $8^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Этап 3.1.2.1.8.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Этап 3.1.2.1.8.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 3.1.2.1.8.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Этап 3.1.2.1.8.6

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Этап 3.1.2.1.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Этап 3.1.2.1.9.2

Вынесем множитель $4$ из $8 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Этап 3.1.2.1.9.3

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Этап 3.1.2.1.9.4

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Этап 3.1.2.1.10

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.1.2.1.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.1.2.1.11.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.1.2.1.11.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.1.2.1.11.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.1.2.1.11.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.1.2.1.11.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.11.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.1.2.1.11.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.1.2.1.11.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.1.2.1.11.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.7.4.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.1.2.1.11.7.4.2

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.1.11.7.5

Найдем экспоненту.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.1.12

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 3.1.2.1.13

Перепишем $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ в виде $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 3.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $3 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.1.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Этап 3.1.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2

Подставляя $2 \sqrt[4]{8}$ в $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ , найдем точку $(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3.3

Подставим $- 2 \sqrt[4]{8}$ в $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot ({(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.4

Объединим $\frac{3}{8}$ и ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ в виде $\sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.1.5

Перепишем $8^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.2

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.5.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Этап 3.3.2.1.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.8.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.8.3

Перепишем ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ в виде $\sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.8.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.1.8.3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Этап 3.3.2.1.8.3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Этап 3.3.2.1.8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Этап 3.3.2.1.8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Этап 3.3.2.1.8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3.2.1.8.3.5

Перепишем $8^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Этап 3.3.2.1.8.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Этап 3.3.2.1.8.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.1.8.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Этап 3.3.2.1.8.6

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Этап 3.3.2.1.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Этап 3.3.2.1.9.2

Вынесем множитель $4$ из $8 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Этап 3.3.2.1.9.3

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Этап 3.3.2.1.9.4

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Этап 3.3.2.1.10

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.3.2.1.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.3.2.1.11.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.3.2.1.11.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.3.2.1.11.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.2.1.11.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.1.11.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.2.1.11.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.7.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.2.1.11.7.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.11.7.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.12

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.13

Перепишем $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ в виде $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $3 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Этап 3.3.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4

Подставляя $- 2 \sqrt[4]{8}$ в $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ , найдем точку $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8}) \cup (- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8}) \cup (2 \sqrt[4]{8}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.46358566$ .

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{{(- 3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3.46358566$ в степень $4$ .

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $24$ на $143.91422792$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0.16676599$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- 0.16676599$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Этап 5.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $- 0.16676599$ и $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $- 0.16676599$ на $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $- 2.66825598$ и $3$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Этап 5.2.5

Разделим $0.33174401$ на $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = 0.020734$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $0.020734$ .

$0.020734$

Этап 5.3

При $- 3.46358566$ вторая производная имеет вид $0.020734$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{24}{{(0)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Этап 6.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{24}{0} + \frac{3}{16}$

Этап 6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$f'' (0) = Undefined$

Этап 6.4

При $0$ вторая производная имеет вид $N a N$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ .

Убывание на $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.46358566$ .

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{{(3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3.46358566$ в степень $4$ .

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $24$ на $143.91422792$ .

$f'' (3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0.16676599$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- 0.16676599$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Этап 7.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Объединим $- 0.16676599$ и $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Этап 7.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Этап 7.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $- 0.16676599$ на $16$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Этап 7.2.4.2

Добавим $- 2.66825598$ и $3$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Этап 7.2.5

Разделим $0.33174401$ на $16$ .

$f'' (3.46358566) = 0.020734$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $0.020734$ .

$0.020734$

Этап 7.3

При $3.46358566$ вторая производная имеет вид $0.020734$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ .

Возрастание в области $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 9