Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{3 \cdot (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.4.3

Добавим $3$ и $3$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Объединим $2$ и $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{4})) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (3 x^{2 + 4}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.1.1.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{2 (3 x^{6}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.1.5

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} - 8 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.2

Вычтем $8 x^{6}$ из $6 x^{6}$ .

$\frac{- 2 x^{6} + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 2 x^{6} + 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 2 x^{6}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.7

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) - 1 (- 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.9

Перепишем $- (x^{4} - 3)$ в виде $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.6.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(2 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Этап 1.2.2

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.6.3

Добавим $3$ и $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Перенесем $4$ влево от $x^{5}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{5} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + (x^{4} - 3) (2 x)) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.7.3

Перенесем $2$ влево от $x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 \cdot (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.9.2

Вынесем множитель $x^{4} + 1$ из ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Вынесем множитель $x^{4} + 1$ из ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.9.2.2

Вынесем множитель $x^{4} + 1$ из $- 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.9.2.3

Вынесем множитель $x^{4} + 1$ из $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Этап 1.2.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Вынесем множитель $x^{4} + 1$ из ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.10.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.10.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.11

По правилу суммы производная $x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.14.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.14.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{2} (x^{4} - 3) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.15

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.15.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 (x^{3} x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.15.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{3 + 2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.15.3

Добавим $3$ и $2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.16

Объединим $- 2$ и $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} x^{4} - 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x \cdot x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.1.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.1.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.2

Добавим $4 x^{5}$ и $2 x^{5}$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.3

Развернем $(x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5} - 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{2 (6 x^{4} x^{5} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.4.1.2.1

Перенесем $x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 (x^{5} x^{4}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (6 x^{5 + 4} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.2.3

Добавим $5$ и $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{4} x + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.4.1.4.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x \cdot x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.4.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x^{1} x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{1 + 4} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.4.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.5

Умножим $6 x^{5}$ на $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.1.6

Умножим $- 6 x$ на $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.2

Добавим $- 6 x^{5}$ и $6 x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + 0 - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.4.3

Добавим $6 x^{9}$ и $0$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (6 x^{9}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.6

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{12 x^{9} + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.7

Умножим $- 6$ на $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.8

Умножим $x^{5}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.5.1.8.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 (x^{4} x^{5})) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{4 + 5}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.8.3

Добавим $4$ и $5$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{9}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.9

Умножим $- 8$ на $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.10

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (24 x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.1.11

Умножим $24$ на $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.5.2

Вычтем $16 x^{9}$ из $12 x^{9}$ .

$- \frac{- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.6.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.6.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{9}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.6.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 12 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.6.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $48 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.6.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3)$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.6.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3 + 12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.6.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{4 x (- x^{8} + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{8}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.8

Вынесем множитель $- 1$ из $12 x^{4}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) - (- 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{8}) - (- 12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.10

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.12

Перепишем $- (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ в виде $- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.15

Умножим $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ на $1$ .

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2.18.16

Изменим порядок множителей в $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.85122502, - 0.7109206, 0, 0.7109206, 1.85122502$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 1.85122502$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.85122502$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 {(- 1.85122502)}^{3}}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $- 1.85122502$ в степень $3$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Возведем $- 1.85122502$ в степень $4$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $11.74456266$ и $1$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{12.74456266}$

Этап 3.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $2$ на $- 6.34421126$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{- 12.68842253}{12.74456266}$

Этап 3.1.2.3.2

Разделим $- 12.68842253$ на $12.74456266$ .

$f (- 1.85122502) = - 0.99559497$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $- 0.99559497$ .

$- 0.99559497$

Этап 3.2

Подставляя $- 1.85122502$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , найдем точку $(- 1.85122502, - 0.99559497)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1.85122502, - 0.99559497)$

Этап 3.3

Подставим $- 0.7109206$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.7109206$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 {(- 0.7109206)}^{3}}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $- 0.7109206$ в степень $3$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Этап 3.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Возведем $- 0.7109206$ в степень $4$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $0.25543735$ и $1$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{1.25543735}$

Этап 3.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $2$ на $- 0.35930503$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{- 0.71861007}{1.25543735}$

Этап 3.3.2.3.2

Разделим $- 0.71861007$ на $1.25543735$ .

$f (- 0.7109206) = - 0.57239819$

Этап 3.3.2.4

Окончательный ответ: $- 0.57239819$ .

$- 0.57239819$

Этап 3.4

Подставляя $- 0.7109206$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , найдем точку $(- 0.7109206, - 0.57239819)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 0.7109206, - 0.57239819)$

Этап 3.5

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{3}}{{(0)}^{4} + 1}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Этап 3.5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Этап 3.5.2.3.2

Разделим $0$ на $1$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.5.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.6

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.7

Подставим $0.7109206$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.7109206$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 {(0.7109206)}^{3}}{{(0.7109206)}^{4} + 1}$

Этап 3.7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Возведем $0.7109206$ в степень $3$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{{0.7109206}^{4} + 1}$

Этап 3.7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Возведем $0.7109206$ в степень $4$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Этап 3.7.2.2.2

Добавим $0.25543735$ и $1$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{1.25543735}$

Этап 3.7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Умножим $2$ на $0.35930503$ .

$f (0.7109206) = \frac{0.71861007}{1.25543735}$

Этап 3.7.2.3.2

Разделим $0.71861007$ на $1.25543735$ .

$f (0.7109206) = 0.57239819$

Этап 3.7.2.4

Окончательный ответ: $0.57239819$ .

$0.57239819$

Этап 3.8

Подставляя $0.7109206$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , найдем точку $(0.7109206, 0.57239819)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.7109206, 0.57239819)$

Этап 3.9

Подставим $1.85122502$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.85122502$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 {(1.85122502)}^{3}}{{(1.85122502)}^{4} + 1}$

Этап 3.9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Возведем $1.85122502$ в степень $3$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{{1.85122502}^{4} + 1}$

Этап 3.9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.2.1

Возведем $1.85122502$ в степень $4$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Этап 3.9.2.2.2

Добавим $11.74456266$ и $1$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{12.74456266}$

Этап 3.9.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Умножим $2$ на $6.34421126$ .

$f (1.85122502) = \frac{12.68842253}{12.74456266}$

Этап 3.9.2.3.2

Разделим $12.68842253$ на $12.74456266$ .

$f (1.85122502) = 0.99559497$

Этап 3.9.2.4

Окончательный ответ: $0.99559497$ .

$0.99559497$

Этап 3.10

Подставляя $1.85122502$ в $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ , найдем точку $(1.85122502, 0.99559497)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1.85122502, 0.99559497)$

Этап 3.11

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1.85122502) \cup (- 1.85122502, - 0.7109206) \cup (- 0.7109206, 0) \cup (0, 0.7109206) \cup (0.7109206, 1.85122502) \cup (1.85122502, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1.85122502)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{4 (- 1.95122502) ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 7.80490009 ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 7.80490009$ на ${(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 1.95122502$ в степень $4$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $14.49537411$ и $1$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $15.49537411$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{3720.54188867}$

Этап 5.2.3

Разделим $- 305.72871822$ на $3720.54188867$ .

$f'' (- 1.95122502) = - 0.08217316$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- 0.08217316$ .

$- 0.08217316$

Этап 5.3

При $- 1.95122502$ вторая производная имеет вид $- 0.08217316$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1.85122502)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1.85122502)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{4 (- 1.28107281) ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{- 5.12429125 ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 5.12429125$ на ${(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 1.28107281$ в степень $4$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $2.6933653$ и $1$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $3.6933653$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{50.38100121}$

Этап 6.2.3

Разделим $113.07346647$ на $50.38100121$ .

$f'' (- 1.28107281) = 2.24436719$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $2.24436719$ .

$2.24436719$

Этап 6.3

При $- 1.28107281$ вторая производная имеет вид $2.24436719$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ .

Возрастание в области $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 0.7109206, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{4 (- 0.3554603) ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $4$ на $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 1.4218412 ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 1.4218412$ на ${(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 0.3554603$ в степень $4$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0.01596483$ и $1$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $1.01596483$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{1.0486632}$

Этап 7.2.3

Разделим $- 3.9934925$ на $1.0486632$ .

$f'' (- 0.3554603) = - 3.80817454$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 3.80817454$ .

$- 3.80817454$

Этап 7.3

При $- 0.3554603$ вторая производная имеет вид $- 3.80817454$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 0.7109206, 0)$ .

Убывание на $(- 0.7109206, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 0.7109206)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{4 (0.3554603) ({(0.3554603)}^{8} - 12 {(0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $4$ на $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{1.4218412 ({0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3)}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $1.4218412$ на ${0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $0.3554603$ в степень $4$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $0.01596483$ и $1$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $1.01596483$ в степень $3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{1.0486632}$

Этап 8.2.3

Разделим $3.9934925$ на $1.0486632$ .

$f'' (0.3554603) = 3.80817454$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $3.80817454$ .

$3.80817454$

Этап 8.3

При $0.3554603$ вторая производная имеет вид $3.80817454$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, 0.7109206)$ .

Возрастание в области $(0, 0.7109206)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0.7109206, 1.85122502)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{4 (1.28107281) ({(1.28107281)}^{8} - 12 {(1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $4$ на $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{5.12429125 ({1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3)}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $5.12429125$ на ${1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $1.28107281$ в степень $4$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $2.6933653$ и $1$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $3.6933653$ в степень $3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{50.38100121}$

Этап 9.2.3

Разделим $- 113.07346647$ на $50.38100121$ .

$f'' (1.28107281) = - 2.24436719$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- 2.24436719$ .

$- 2.24436719$

Этап 9.3

При $1.28107281$ вторая производная имеет вид $- 2.24436719$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0.7109206, 1.85122502)$ .

Убывание на $(0.7109206, 1.85122502)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(1.85122502, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{4 (1.95122502) ({(1.95122502)}^{8} - 12 {(1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $4$ на $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{7.80490009 ({1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3)}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 10.2.1.2

Умножим $7.80490009$ на ${1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Возведем $1.95122502$ в степень $4$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $14.49537411$ и $1$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Этап 10.2.2.3

Возведем $15.49537411$ в степень $3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{3720.54188869}$

Этап 10.2.3

Разделим $305.72871822$ на $3720.54188869$ .

$f'' (1.95122502) = 0.08217316$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $0.08217316$ .

$0.08217316$

Этап 10.3

При $1.95122502$ вторая производная имеет вид $0.08217316$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(1.85122502, \infty)$ .

Возрастание в области $(1.85122502, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 11

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$ .

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Этап 12