Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{7 x}{5 x^{2} + 4}]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{7 x}{5 x^{2} + 4}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 4}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 4}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 5 x^{2} + 4$ .

$- 7 \frac{(5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 7 \frac{(5 x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $5 x^{2} + 4$ на $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Умножим $2$ на $5$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 7 \frac{5 x^{2} + 4 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.8

Вычтем $10 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$- 7 \frac{- 5 x^{2} + 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.9

Объединим $- 7$ и $\frac{- 5 x^{2} + 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 7 \cdot 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.2.1

Умножим $- 5$ на $7$ .

$- \frac{- 35 x^{2} + 7 \cdot 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.2.2

Умножим $7$ на $4$ .

$- \frac{- 35 x^{2} + 28}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.3

Вынесем множитель $7$ из $- 35 x^{2} + 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.3.1

Вынесем множитель $7$ из $- 35 x^{2}$ .

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 28}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.3.2

Вынесем множитель $7$ из $28$ .

$- \frac{7 (- 5 x^{2}) + 7 (4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.3.3

Вынесем множитель $7$ из $7 (- 5 x^{2}) + 7 (4)$ .

$- \frac{7 (- 5 x^{2} + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x^{2}$ .

$- \frac{7 (- (5 x^{2}) + 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.5

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{7 (- (5 x^{2}) - 1 (- 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{7 (- (5 x^{2} - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.7

Перепишем $- (5 x^{2} - 4)$ в виде $- 1 (5 x^{2} - 4)$ .

$- \frac{7 (- 1 (5 x^{2} - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.11.10

Умножим $\frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7 (5 x^{2} - 4)}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} - 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} - 4}{{(5 x^{2} + 4)}^{2}}]$

Этап 1.2.2

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{({(5 x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4] - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.2

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.5

Умножим $2$ на $5$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.7.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$7 \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{2} (10 x) - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.7.2

Перенесем $10$ влево от ${(5 x^{2} + 4)}^{2}$ .

$7 \frac{10 \cdot {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 4)}^{2}]}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 5 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - (5 x^{2} - 4) (2 (5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4])}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.5

Умножим $2$ на $5$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [4]))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x + 0))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) (10 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.2.1

Перенесем $10$ влево от $5 x^{2} + 4$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (5 x^{2} - 4) (10 \cdot (5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7.2.2

Умножим $10$ на $- 2$ .

$7 \frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7.3

Объединим $7$ и $\frac{10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$ .

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x - 20 (5 x^{2} - 4) ((5 x^{2} + 4) x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) ((5 x^{2} + 4) x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x + (- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (10 {(5 x^{2} + 4)}^{2} x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.1

Перепишем ${(5 x^{2} + 4)}^{2}$ в виде $(5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)$ .

$\frac{7 (10 ((5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.2

Развернем $(5 x^{2} + 4) (5 x^{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2} + 4) + 4 (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2} + 4)) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (10 (5 x^{2} (5 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 (x^{2} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{2 + 2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{7 (10 (5 \cdot 5 x^{4} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 5 x^{2} \cdot 4 + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.1.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.1.5

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 \cdot 4) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 20 x^{2} + 20 x^{2} + 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.3.2

Добавим $20 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$\frac{7 (10 (25 x^{4} + 40 x^{2} + 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 ((10 (25 x^{4}) + 10 (40 x^{2}) + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.5.1

Умножим $25$ на $10$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 10 (40 x^{2}) + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.5.2

Умножим $40$ на $10$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 400 x^{2} + 10 \cdot 16) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.5.3

Умножим $10$ на $16$ .

$\frac{7 ((250 x^{4} + 400 x^{2} + 160) x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (250 x^{4} x + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.7.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 (250 (x \cdot x^{4}) + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (250 (x^{1} x^{4}) + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 (250 x^{1 + 4} + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{2} x + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 (x \cdot x^{2}) + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 (x^{1} x^{2}) + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{1 + 2} + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{7 (250 x^{5} + 400 x^{3} + 160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (250 x^{5}) + 7 (400 x^{3}) + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.9.1

Умножим $250$ на $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 7 (400 x^{3}) + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.9.2

Умножим $400$ на $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 7 (160 x) + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.9.3

Умножим $160$ на $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 20 (5 x^{2}) - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.10.1

Умножим $5$ на $- 20$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} - 20 \cdot - 4) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.10.2

Умножим $- 20$ на $- 4$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{2} x + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.11.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 (x \cdot x^{2}) + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 (x^{1} x^{2}) + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{1 + 2} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 ((- 100 x^{2} + 80) (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.12

Развернем $(- 100 x^{2} + 80) (5 x^{3} + 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3} + 4 x) + 80 (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3} + 4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 x^{2} (5 x^{3}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.13.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{2} x^{3} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.13.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 (x^{3} x^{2}) - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{3 + 2} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 100 \cdot 5 x^{5} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.3

Умножим $- 100$ на $5$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 x^{2} (4 x) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{2} x + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.13.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1.13.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{1 + 2} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 100 \cdot 4 x^{3} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.6

Умножим $- 100$ на $4$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 80 (5 x^{3}) + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.7

Умножим $5$ на $80$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 80 (4 x))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.1.8

Умножим $4$ на $80$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} - 400 x^{3} + 400 x^{3} + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.2

Добавим $- 400 x^{3}$ и $400 x^{3}$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} + 0 + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.13.3

Добавим $- 500 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5} + 320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 7 (- 500 x^{5}) + 7 (320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.15

Умножим $- 500$ на $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x - 3500 x^{5} + 7 (320 x)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.1.16

Умножим $320$ на $7$ .

$\frac{1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x - 3500 x^{5} + 2240 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.2

Вычтем $3500 x^{5}$ из $1750 x^{5}$ .

$\frac{- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 1120 x + 2240 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.4.3

Добавим $1120 x$ и $2240 x$ .

$\frac{- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.5.1

Вынесем множитель $70 x$ из $- 1750 x^{5} + 2800 x^{3} + 3360 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.5.1.1

Вынесем множитель $70 x$ из $- 1750 x^{5}$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 2800 x^{3} + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.1.2

Вынесем множитель $70 x$ из $2800 x^{3}$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2}) + 3360 x}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.1.3

Вынесем множитель $70 x$ из $3360 x$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2}) + 70 x (48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.1.4

Вынесем множитель $70 x$ из $70 x (- 25 x^{4}) + 70 x (40 x^{2})$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2}) + 70 x (48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.1.5

Вынесем множитель $70 x$ из $70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2}) + 70 x (48)$ .

$\frac{70 x (- 25 x^{4} + 40 x^{2} + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{70 x (- 25 {(x^{2})}^{2} + 40 x^{2} + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + 40 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.5.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 25 \cdot 48 = - 1200$ , а сумма — $b = 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.5.4.1.1

Вынесем множитель $40$ из $40 u$ .

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + 40 (u) + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.4.1.2

Запишем $40$ как $- 20$ плюс $60$

$\frac{70 x (- 25 u^{2} + (- 20 + 60) u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{70 x (- 25 u^{2} - 20 u + 60 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.5.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{70 x ((- 25 u^{2} - 20 u) + 60 u + 48)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{70 x (5 u (- 5 u - 4) - 12 (- 5 u - 4))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 5 u - 4$ .

$\frac{70 x ((- 5 u - 4) (5 u - 12))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{70 x (- 5 x^{2} - 4) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.6

Сократим общий множитель $- 5 x^{2} - 4$ и ${(5 x^{2} + 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x^{2}$ .

$\frac{70 x (- (5 x^{2}) - 4) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.6.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{70 x (- (5 x^{2}) - 1 (4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{70 x (- (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.6.4

Перепишем $- (5 x^{2} + 4)$ в виде $- 1 (5 x^{2} + 4)$ .

$\frac{70 x (- 1 (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.6.5

Вынесем множитель $5 x^{2} + 4$ из $70 x (- 1 (5 x^{2} + 4)) (5 x^{2} - 12)$ .

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{{(5 x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.6.6.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.6.6.1

Вынесем множитель $5 x^{2} + 4$ из ${(5 x^{2} + 4)}^{4}$ .

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{(5 x^{2} + 4) {(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 1.2.6.6.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{2} + 4) (70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12))}{(5 x^{2} + 4) {(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 1.2.6.6.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{70 x \cdot (- 1) (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 1.2.6.7

Умножим $- 1$ на $70$ .

$\frac{- 70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 1.2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{70 x (5 x^{2} - 12)}{{(5 x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$70 x (5 x^{2} - 12) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $5 x^{2} - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $5 x^{2} - 12$ к $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $5 x^{2} - 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} = 12$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $5 x^{2} = 12$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 x^{2} = 12$ на $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Этап 2.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Этап 2.3.3.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Этап 2.3.3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{12}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.2.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.3.3.2.4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.3.3.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.3.3.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.4.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 2.3.3.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Этап 2.3.3.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Этап 2.3.3.2.4.5.2

Умножим $5$ на $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.3.3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.3.3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.3.3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $70 x (5 x^{2} - 12) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{- 7 \cdot 0}{5 {(0)}^{2} + 4}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 7$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{5 \cdot 0^{2} + 4}$

Этап 3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{5 \cdot 0 + 4}$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 4}$

Этап 3.1.2.2.3

Добавим $0$ и $4$ .

$f (0) = \frac{0}{4}$

Этап 3.1.2.3

Разделим $0$ на $4$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ в $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \frac{2 \sqrt{15}}{5}}{5 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $- 7$ и $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Этап 3.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.2.2

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{25}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.4

Умножим $4$ на $15$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{25}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 (5)}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 \cdot 5}) + 4}$

Этап 3.3.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{\frac{60}{5} + 4}$

Этап 3.3.2.2.6

Разделим $60$ на $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{12 + 4}$

Этап 3.3.2.2.7

Добавим $12$ и $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 7 (2 \sqrt{15})}{5}}{16}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 7$ на $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{- 14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Этап 3.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- \frac{14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Этап 3.3.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Этап 3.3.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{14 \sqrt{15}}{5}$ в числитель.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Этап 3.3.2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Этап 3.3.2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 (8)}$

Этап 3.3.2.6.4

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (- 7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 8}$

Этап 3.3.2.6.5

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 3.3.2.7

Умножим $\frac{- 7 \sqrt{15}}{5}$ на $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{5 \cdot 8}$

Этап 3.3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.8.1

Умножим $5$ на $8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 \sqrt{15}}{40}$

Этап 3.3.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Этап 3.3.2.9

Окончательный ответ: $- \frac{7 \sqrt{15}}{40}$ .

$- \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Этап 3.4

Подставляя $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ в $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , найдем точку $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Этап 3.5

Подставим $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ в $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 7 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Этап 3.5.2.1.2

Объединим $7$ и $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2} + 4}$

Этап 3.5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{2}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Этап 3.5.2.2.1.3

Применим правило умножения к $2 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Этап 3.5.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (1 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}})) + 4}$

Этап 3.5.2.2.3

Умножим $\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.4.2

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.4.2.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{5^{2}}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{4 \cdot 15}{25}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.6

Умножим $4$ на $15$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{25}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 (5)}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{5 (\frac{60}{5 \cdot 5}) + 4}$

Этап 3.5.2.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{\frac{60}{5} + 4}$

Этап 3.5.2.2.8

Разделим $60$ на $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{12 + 4}$

Этап 3.5.2.2.9

Добавим $12$ и $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{7 (2 \sqrt{15})}{5}}{16}$

Этап 3.5.2.3

Умножим $7$ на $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{\frac{14 \sqrt{15}}{5}}{16}$

Этап 3.5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{14 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Этап 3.5.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $14 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{16}$

Этап 3.5.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 (8)}$

Этап 3.5.2.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2 (7 \sqrt{15})}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 8}$

Этап 3.5.2.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 3.5.2.6

Умножим $\frac{7 \sqrt{15}}{5}$ на $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{5 \cdot 8}$

Этап 3.5.2.7

Умножим $5$ на $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Этап 3.5.2.8

Окончательный ответ: $\frac{7 \sqrt{15}}{40}$ .

$\frac{7 \sqrt{15}}{40}$

Этап 3.6

Подставляя $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ в $f (x) = \frac{- 7 x}{5 x^{2} + 4}$ , найдем точку $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{70 (- 1.64919333) (5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $70$ на $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 115.44353369 (5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 115.44353369$ на $5 {(- 1.64919333)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(5 {(- 1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 1.64919333$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(5 \cdot 2.71983866 + 4)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $5$ на $2.71983866$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{(13.59919333 + 4)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Добавим $13.59919333$ и $4$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{{17.59919333}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $17.59919333$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.64919333) = - \frac{- 184.61653005}{5451.02641994}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $- 184.61653005$ на $5451.02641994$ .

$f'' (- 1.64919333) = 0.03386821$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 0.03386821$ .

$f'' (- 1.64919333) = 0.03386821$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $0.03386821$ .

$0.03386821$

Этап 5.3

При $- 1.64919333$ вторая производная имеет вид $0.03386821$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{70 (- 0.77459666) (5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $70$ на $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{- 54.22176684 (5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 54.22176684$ на $5 {(- 0.77459666)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(5 {(- 0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 0.77459666$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(5 \cdot 0.6 + 4)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $5$ на $0.6$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{{(3 + 4)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{7^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.77459666) = - \frac{487.99590162}{343}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $487.99590162$ на $343$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 1 \cdot 1.42272857$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $1.42272857$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 1.42272857$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 1.42272857$ .

$- 1.42272857$

Этап 6.3

При $- 0.77459666$ вторая производная имеет вид $- 1.42272857$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{70 (0.77459666) (5 {(0.77459666)}^{2} - 12)}{{(5 {(0.77459666)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $70$ на $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{54.22176684 (5 \cdot {0.77459666}^{2} - 12)}{{(5 \cdot {0.77459666}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $54.22176684$ на $5 \cdot {0.77459666}^{2} - 12$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(5 \cdot {0.77459666}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $0.77459666$ в степень $2$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(5 \cdot 0.6 + 4)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Умножим $5$ на $0.6$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{{(3 + 4)}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{7^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f'' (0.77459666) = - \frac{- 487.99590162}{343}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $- 487.99590162$ на $343$ .

$f'' (0.77459666) = 1.42272857$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1.42272857$ .

$f'' (0.77459666) = 1.42272857$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $1.42272857$ .

$1.42272857$

Этап 7.3

При $0.77459666$ вторая производная имеет вид $1.42272857$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Возрастание в области $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{70 (1.64919333) (5 {(1.64919333)}^{2} - 12)}{{(5 {(1.64919333)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $70$ на $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{115.44353369 (5 \cdot {1.64919333}^{2} - 12)}{{(5 \cdot {1.64919333}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $115.44353369$ на $5 \cdot {1.64919333}^{2} - 12$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(5 \cdot {1.64919333}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $1.64919333$ в степень $2$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(5 \cdot 2.71983866 + 4)}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Умножим $5$ на $2.71983866$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{(13.59919333 + 4)}^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Добавим $13.59919333$ и $4$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{{17.59919333}^{3}}$

Этап 8.2.2.4

Возведем $17.59919333$ в степень $3$ .

$f'' (1.64919333) = - \frac{184.61653005}{5451.02641994}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $184.61653005$ на $5451.02641994$ .

$f'' (1.64919333) = - 1 \cdot 0.03386821$

Этап 8.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.03386821$ .

$f'' (1.64919333) = - 0.03386821$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.03386821$ .

$- 0.03386821$

Этап 8.3

При $1.64919333$ вторая производная имеет вид $- 0.03386821$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{7 \sqrt{15}}{40}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{7 \sqrt{15}}{40})$

Этап 10