Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\sqrt{x}$ из обеих частей уравнения.

$f (x) - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 1.2

Вычтем $\frac{1}{\sqrt{x}}$ из обеих частей уравнения.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 0$

Этап 2.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = 0$

Этап 2.2.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} = 0$

Этап 2.2.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} = 0$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} = 0$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} = 0$

Этап 2.2.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Этап 2.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Этап 2.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Этап 2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Этап 2.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}} = 0$

Этап 2.2.6.5

Упростим.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = 0$

Этап 3

Найдем значение $m$ , используя уравнение прямой.

$y = m x + b$

Этап 4

Подставим значение $b$ в уравнение.

$y = m x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Этап 5

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Этап 6

Подставим значение $y$ в уравнение.

$\frac{5}{2} = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Этап 7

Найдем значение $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$ .

$m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2

Упростим $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перенесем $4$ влево от $m$ .

$4 m + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.2

Перенесем $4$ влево от $f$ .

$4 m + 4 f - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 m + 4 f - \sqrt{2^{2}} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 m + 4 f - 1 \cdot 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{2^{2}}}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 (1)}{4} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 4 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 5}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 m + 4 f - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.3

Перенесем все члены без $m$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вычтем $4 f$ из обеих частей уравнения.

$4 m - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - 4 f$

Этап 7.3.2

Добавим $\frac{5}{2}$ к обеим частям уравнения.

$4 m = \frac{5}{2} - 4 f + \frac{5}{2}$

Этап 7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 m = - 4 f + \frac{5 + 5}{2}$

Этап 7.3.4

Добавим $5$ и $5$ .

$4 m = - 4 f + \frac{10}{2}$

Этап 7.3.5

Разделим $10$ на $2$ .

$4 m = - 4 f + 5$

Этап 7.4

Разделим каждый член $4 m = - 4 f + 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Разделим каждый член $4 m = - 4 f + 5$ на $4$ .

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Этап 7.4.2.1.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Этап 7.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 f$ .

$m = \frac{4 (- f)}{4} + \frac{5}{4}$

Этап 7.4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$m = \frac{4 (- f)}{4 (1)} + \frac{5}{4}$

Этап 7.4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$m = \frac{4 (- f)}{4 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

Этап 7.4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$m = \frac{- f}{1} + \frac{5}{4}$

Этап 7.4.3.1.2.4

Разделим $- f$ на $1$ .

$m = - f + \frac{5}{4}$

Этап 8

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = (- f + \frac{5}{4}) x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Этап 9