Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{5} x^{10}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{5} \cdot {(x + h)}^{10}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и ${(x + h)}^{10}$ .

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$ .

$\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5} - (\frac{3 x^{10}}{5})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

Этап 4.1.2

Перепишем $\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + h)}^{10}$ .

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{10}$ .

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})$ .

$\frac{\frac{3 ({(x + h)}^{10} - x^{10})}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.2

Перепишем ${(x + h)}^{10}$ в виде ${({(x + h)}^{5})}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - x^{10})}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем $x^{10}$ в виде ${(x^{5})}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - {(x^{5})}^{2})}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(x + h)}^{5}$ и $b = x^{5}$ .

$\frac{\frac{3 (({(x + h)}^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{\frac{3 ((x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.2

Добавим $x^{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.4

Вычтем $x^{5}$ из $x^{5}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + 0))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.5

Добавим $5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ и $0$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6

Вынесем множитель $h$ из $5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.6.1

Вынесем множитель $h$ из $5 x^{4} h$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.2

Вынесем множитель $h$ из $10 x^{3} h^{2}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.3

Вынесем множитель $h$ из $10 x^{2} h^{3}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.4

Вынесем множитель $h$ из $5 x h^{4}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h^{5}))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.5

Вынесем множитель $h$ из $h^{5}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.6

Вынесем множитель $h$ из $h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h)$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.7

Вынесем множитель $h$ из $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2})$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.8

Вынесем множитель $h$ из $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3})$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Этап 4.1.2.5.6.9

Вынесем множитель $h$ из $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5}$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}$

Этап 5