Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(3, \sqrt{3})$

Этап 1

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $f (x) = \sqrt{x}$ в точке $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \sqrt{3}$

Этап 1.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (3) = \sqrt{3}$

Этап 1.1.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}$

Этап 1.2

Поскольку $\sqrt{3} = \sqrt{3}$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 2

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = \sqrt{x}$

Этап 3

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 4

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Этап 4.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Этап 5

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Этап 7

Так как в области определения $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ слева от $0$ нет значений, предел не существует.

$Не существует$

Этап 8

Найдем угловой коэффициент $m$ . В этом случае $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $e$ на $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Этап 8.2

Избавимся от скобок.

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

Этап 9

Угловой коэффициент равен $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ , а точка ― $(3, \sqrt{3})$ .

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

$m = (3, \sqrt{3})$

Этап 10

Умножим $e$ на $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Этап 11

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 11.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot x + b$

Этап 11.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Этап 11.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$\sqrt{3} = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Этап 11.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем уравнение в виде $D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Умножим $o$ на $o$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1.1

Перенесем $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.1.2

Умножим $o$ на $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.2

Умножим $s$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.1

Перенесем $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.2.2

Умножим $s$ на $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.1

Перенесем $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.4

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 \cdot e i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.5

Умножим $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 e i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.5.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.5.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e^{1}) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{1 + 1} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{2} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.6

Перенесем $3$ влево от $D o^{2} s^{2} n t^{2}$ .

$3 \cdot (D o^{2} s^{2} n t^{2}) e^{2} i \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = \sqrt{3}$

Этап 11.5.3

Вычтем $9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ из обеих частей уравнения.

$b = \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Этап 12

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 3 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Этап 13