Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x + 3$ ; $(1, 10)$

Этап 1

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $f (x) = 7 x + 3$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 7 (1) + 3$

Этап 1.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $7$ на $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Этап 1.1.2.2

Добавим $7$ и $3$ .

$f (1) = 10$

Этап 1.1.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 1.2

Поскольку $10 = 10$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 2

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = 7 x + 3$

Этап 3

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 4

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 7 (x + h) + 3$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 x + 7 h + 3$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $7 x + 7 h + 3$ .

$7 x + 7 h + 3$

Этап 4.2

Изменим порядок $7 x$ и $7 h$ .

$7 h + 7 x + 3$

Этап 4.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

Этап 5

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x + 3)}{h}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x) - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 6.1.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 3}{h}$

Этап 6.1.4

Вычтем $7 x$ из $7 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0 + 3 - 3}{h}$

Этап 6.1.5

Добавим $7 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 3 - 3}{h}$

Этап 6.1.6

Вычтем $3$ из $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0}{h}$

Этап 6.1.7

Добавим $7 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Этап 6.2.2

Разделим $7$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7$

Этап 7

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$7$

Этап 8

Угловой коэффициент равен , а точка ― $(1, 10)$ .

$m = 7, (1, 10)$

Этап 9

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 9.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (7) \cdot x + b$

Этап 9.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (7) \cdot (1) + b$

Этап 9.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$10 = (7) \cdot (1) + b$

Этап 9.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем уравнение в виде $(7) \cdot (1) + b = 10$ .

$(7) \cdot (1) + b = 10$

Этап 9.5.2

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + b = 10$

Этап 9.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.3.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$b = 10 - 7$

Этап 9.5.3.2

Вычтем $7$ из $10$ .

$b = 3$

Этап 10

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 7 x + 3$

Этап 11