Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ не определено.

$x = 1$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.7

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.2.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.7

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 3.8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 3.8.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 3.9

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 3.10.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 3.10.1.3

Добавим $9 + 0$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 3.10.1.4

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 3.10.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 3.10.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 3.10.1.7

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{3 + 0}{1 - 0}$

Этап 3.10.1.8

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3}{1 - 0}$

Этап 3.10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Этап 3.10.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{1}$

Этап 3.10.3

Разделим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.7

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.2.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.3

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.5

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.7

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Этап 4.8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 4.8.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 4.9

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.3

Добавим $9 + 0$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.4

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.8

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{1 - 0}$

Этап 4.10.1.9

Добавим $- 3$ и $0$ .

$\frac{- 3}{1 - 0}$

Этап 4.10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 3}{1 + 0}$

Этап 4.10.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 3}{1}$

Этап 4.10.3

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 3, - 3$

Этап 6

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 3, - 3$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 8