Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ не определено.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

Этап 2

Поскольку $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ слева, а $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ справа, то $x = - \frac{1}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ слева, а $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ справа, то $x = \frac{1}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Этап 5

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Этап 5.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Этап 5.3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 5.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 5.4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 5.4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 5.4.4

Внесем предел под знак радикала.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 5.5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.4.2

Перенесем $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.8.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.8.2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.8.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.8.3

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.8.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.2.9

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.5.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 5.5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 5.5.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x + 1$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.3

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.8

Добавим $2$ и $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.9

Перенесем $2$ влево от $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.10

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.13

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.15

Добавим $2$ и $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.16

Перенесем $2$ влево от $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.17.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.3.5

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.3.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.17.3.7

Добавим $8 x$ и $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.5.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Этап 5.5.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Этап 5.5.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Этап 5.5.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Этап 5.5.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Этап 5.5.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Этап 5.5.4.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4}}$

Этап 5.6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.6.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 5.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 6

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

Этап 6.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

Этап 6.2.3

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

Этап 6.3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.4.4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.4.5

Внесем предел под знак радикала.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

Этап 6.5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.4.2

Перенесем $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.8.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.8.2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.8.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.8.3

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.8.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.2.9

Для многочлена четной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.5.1.3

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 6.5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 6.5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.2

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.3

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.8

Добавим $2$ и $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.9

Перенесем $2$ влево от $2 x + 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.10

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.13

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.15

Добавим $2$ и $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.16

Перенесем $2$ влево от $2 x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.17.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.3.5

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.3.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.17.3.7

Добавим $8 x$ и $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.5.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

Этап 6.5.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Этап 6.5.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

Этап 6.5.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

Этап 6.5.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Этап 6.5.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

Этап 6.5.4.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4}}$

Этап 6.6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{4}}$

Этап 6.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4}}$

Этап 6.6.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{4}})$

Этап 6.6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}})$

Этап 6.6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Этап 6.6.2.3.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Этап 6.6.2.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1$

Этап 7

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 1, - 1$

Этап 8

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Горизонтальные асимптоты: $y = 1, - 1$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 10