Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (2 x)$ , $[0, 2 π]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2 π]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 3.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Этап 3.1.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, 2 π)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, 2 π)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, 2 π)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, 2 π]$ , дифференцируемое в области $(0, 2 π)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2 π]$ , дифференцируемое в области $(0, 2 π)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sin (2 (0))$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Этап 7.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 8

Решим $2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $2 \cos (2 x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

Этап 8.1.3

Сократим выражение $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

Этап 8.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

Этап 8.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

Этап 8.1.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

Этап 8.1.3.5

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

Этап 8.1.3.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (π) + 2 (0)$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Этап 8.1.3.7

Сократим общий множитель.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Этап 8.1.3.8

Перепишем это выражение.

$2 \cos (2 x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

Этап 8.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0}{π + 0}$

Этап 8.1.5

Добавим $π$ и $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0}{π}$

Этап 8.1.6

Разделим $0$ на $π$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Этап 8.2

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Этап 8.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 8.5

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 8.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 8.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 8.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.5.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 8.5.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 8.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 8.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 8.7.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 8.7.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 8.7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 8.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 8.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 8.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.7.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 8.7.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 8.8

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 8.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8.9

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2 π$ , находится в точке $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

Касательная в точке $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2 π$ .

Этап 10