Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ , $[0, 2]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[0, 2]$ , найдем область определения $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 - x^{2} \geq 0$

Этап 2.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 4$

Этап 2.1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Этап 2.1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Этап 2.1.2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Этап 2.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.1.2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 2 |$

Этап 2.1.2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \leq 2$

Этап 2.1.2.5

Запишем $| x | \leq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 2$

Этап 2.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 2$

Этап 2.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.1.2.6

Найдем пересечение $x \leq 2$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Этап 2.1.2.7

Решим $- x \leq 2$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.1.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.1.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.1.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x \geq - 2$

Этап 2.1.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 2$ и $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Этап 2.1.2.8

Найдем объединение решений.

$- 2 \leq x \leq 2$

Этап 2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Интервальное представление:

$[- 2, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.9

Перенесем ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Этап 3.1.10

Объединим $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 3.1.11

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 3.1.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 3.1.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 3.1.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 3.1.13

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.1.14

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.1.15

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.1.16

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.1.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Этап 3.1.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.18.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Этап 3.1.18.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 3.1.18.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 3.1.18.4

Объединим $\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.1.18.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(0, 2)$ , найдем область определения $f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{4 x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Этап 4.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Этап 4.1.2

$4 - x^{2} \geq 0$

Этап 4.1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 4$

Этап 4.1.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.1.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Этап 4.1.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Этап 4.1.3.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Этап 4.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.2.1

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.1.3.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 2 |$

Этап 4.1.3.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \leq 2$

Этап 4.1.3.5

Запишем $| x | \leq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.1.3.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 2$

Этап 4.1.3.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.1.3.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 2$

Этап 4.1.3.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.1.3.6

Найдем пересечение $x \leq 2$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Этап 4.1.3.7

Решим $- x \leq 2$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.1.3.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.1.3.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.1.3.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x \geq - 2$

Этап 4.1.3.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 2$ и $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Этап 4.1.3.8

Найдем объединение решений.

$- 2 \leq x \leq 2$

Этап 4.1.4

Зададим знаменатель в $\frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Этап 4.1.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1

Упростим ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.2.1.2

Упростим.

$4 - x^{2} = 0^{2}$

Этап 4.1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Этап 4.1.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 4$

Этап 4.1.5.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.1.5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.1.5.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.1.5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Этап 4.1.5.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 4.1.5.3.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.1.5.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 4.1.5.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 4.1.5.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 4.1.5.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 4.1.6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 2, 2)$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 < x < 2}$

Интервальное представление:

$(- 2, 2)$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 < x < 2}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, 2)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, 2)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, 2)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 - 0}$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 + 0}$

Этап 7.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4}$

Этап 7.2.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (0) = 4 \sqrt{2^{2}}$

Этап 7.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 4 \cdot 2$

Этап 7.2.6

Умножим $4$ на $2$ .

$f (0) = 8$

Этап 7.2.7

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - {(2)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 4}$

Этап 8.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{0}$

Этап 8.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (2) = 4 \sqrt{0^{2}}$

Этап 8.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (2) = 4 \cdot 0$

Этап 8.2.6

Умножим $4$ на $0$ .

$f (2) = 0$

Этап 8.2.7

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 9

Решим $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(0) - (8)}{(2) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 - 8}{2 - (0)}$

Этап 9.1.1.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 - (0)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 + 0}$

Этап 9.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2}$

Этап 9.1.3

Разделим $- 8$ на $2$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 4$

Этап 9.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \sqrt{2}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ , находится в точке $x = \sqrt{2}$ .

Касательная в точке $x = \sqrt{2}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ .

Этап 11