Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + 9$ , $[2, 5]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2

Решим $4 x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} = - 9$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 9$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 9$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 9}{4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 9}{4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{4}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{9}{4}$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{9}{4}}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{9}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $- \frac{9}{4}$ в виде ${(\frac{3 i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{3 i}{2})}^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{3 i}{2}$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{3 i}{2}$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{3 i}{2}$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{3 i}{2}, - \frac{3 i}{2}$

Этап 1.3

Подставим $\frac{3 i}{2}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = \frac{3 i}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 i}{2}$

$y = 0, x = \frac{3 i}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 i}{2}$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{2}^{5} 4 x^{2} + 9 d x - \int_{2}^{5} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{5} 4 x^{2} + 9 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $4 x^{2} + 9$ .

$\int_{2}^{5} 4 x^{2} + 9 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{5} 4 x^{2} d x + \int_{2}^{5} 9 d x$

Этап 3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} 9 d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 9 d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 9 d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 9 x]_{2}^{5}$

Этап 3.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $2$ .

$4 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 9 x]_{2}^{5}$

Этап 3.8.2

Найдем значение $9 x$ в $5$ и в $2$ .

$4 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$4 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{125 - 8}{3} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.4

Вычтем $8$ из $125$ .

$4 (\frac{117}{3}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.5

Сократим общий множитель $117$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $117$ .

$4 \frac{3 \cdot 39}{3} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{39}{1}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.5.2.4

Разделим $39$ на $1$ .

$4 \cdot 39 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.6

Умножим $4$ на $39$ .

$156 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.7

Умножим $9$ на $5$ .

$156 + 45 - 9 \cdot 2$

Этап 3.8.3.8

Умножим $- 9$ на $2$ .

$156 + 45 - 18$

Этап 3.8.3.9

Вычтем $18$ из $45$ .

$156 + 27$

Этап 3.8.3.10

Добавим $156$ и $27$ .

$183$

Этап 4