Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{7 x - 1}$ , $[4, 5]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{1}{7 x - 1} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{1}{7 x - 1} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.2

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x - \int_{4}^{5} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $4$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\frac{1}{7 x - 1}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x$

Этап 3.3

Пусть $u = 7 x - 1$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = 7 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Дифференцируем $7 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 1]$

Этап 3.3.1.2

По правилу суммы производная $7 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 + 0$

Этап 3.3.1.4.2

Добавим $7$ и $0$ .

$7$

Этап 3.3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 7 x - 1$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 4 - 1$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $7$ на $4$ .

$u_{lower} = 28 - 1$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $1$ из $28$ .

$u_{lower} = 27$

Этап 3.3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 7 x - 1$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 5 - 1$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $7$ на $5$ .

$u_{upper} = 35 - 1$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $1$ из $35$ .

$u_{upper} = 34$

Этап 3.3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 34$

Этап 3.3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Этап 3.4.2

Перенесем $7$ влево от $u$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{7 u} d u$

Этап 3.5

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int_{27}^{34} \frac{1}{u} d u$

Этап 3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{7} \ln (| u |)]_{27}^{34}$

Этап 3.7

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $34$ и в $27$ .

$\frac{1}{7} (\ln (| 34 |) - \ln (| 27 |))$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$

Этап 3.8.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})}{7}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $34$ равно $34$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{| 27 |})}{7}$

Этап 3.9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $27$ равно $27$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$

Этап 4

Сложим площади $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ в виде $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ путем переноса $\frac{1}{7}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{34}{27})}^{\frac{1}{7}})$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $\frac{34}{27}$ .

$\ln (\frac{34^{\frac{1}{7}}}{27^{\frac{1}{7}}})$

Этап 5