Математический анализ Примеры

$48 (x^{2} + y^{2}) = 625 x y^{2}$ ; $(3, 4)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (48 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 (x^{2} + y^{2})$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$48 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$48 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$48 (2 x + 2 y y')$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$48 (2 x) + 48 (2 y y')$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $48$ .

$96 x + 48 (2 y y')$

Этап 2.4.2.2

Умножим $2$ на $48$ .

$96 x + 96 y y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$96 y y' + 96 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $625$ является константой относительно $x$ , производная $625 x y^{2}$ по $x$ равна $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Этап 3.8.3

Изменим порядок членов.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$96 y y' + 96 x = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $1250 x y y'$ из обеих частей уравнения.

$96 y y' + 96 x - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Этап 5.2

Вычтем $96 x$ из обеих частей уравнения.

$96 y y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $96 y y' - 1250 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $96 y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 1250 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x)$ .

$2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ на $2 y (48 - 625 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ на $2 y (48 - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $48 - 625 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 96$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 96 x$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Этап 5.4.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 48 x}{y (48 - 625 x)}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Этап 7

Заменим $x$ на $3$ и $y$ на $4$ в этом выражении.

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 (4)}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $625$ на $4$ .

$\frac{2500}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2500$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2500$ .

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1250}{48 - 625 \cdot 3} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $- 625$ на $3$ .

$\frac{1250}{48 - 1875} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $1875$ из $48$ .

$\frac{1250}{- 1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $48 (3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{4 (48 - 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{48 - 625 \cdot 3}$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $12$ и $48 - 625 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Перепишем $48$ в виде $- 1 (- 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - 625 \cdot 3}$

Этап 8.2.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 625 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48 + 625 \cdot 3)}$

Этап 8.2.5.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Этап 8.2.5.5

Вынесем множитель $3$ из $12 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Этап 8.2.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 1 (3 \cdot 625 - 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Этап 8.2.5.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Этап 8.2.5.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 \cdot 3}{- 1 (625 - 16)}$

Этап 8.2.6

Умножим $4$ на $3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 (625 - 16)}$

Этап 8.2.7

Вычтем $16$ из $625$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 \cdot 609}$

Этап 8.2.8

Умножим $- 1$ на $609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 609}$

Этап 8.2.9

Сократим общий множитель $12$ и $- 609$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.9.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4)}{- 609}$

Этап 8.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Этап 8.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Этап 8.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4}{- 203}$

Этап 8.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1250}{1827} - - \frac{4}{203}$

Этап 8.2.11

Умножим $- - \frac{4}{203}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1250}{1827} + 1 (\frac{4}{203})$

Этап 8.2.11.2

Умножим $\frac{4}{203}$ на $1$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203}$

Этап 8.3

Чтобы записать $\frac{4}{203}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 8.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $1827$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $\frac{4}{203}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{203 \cdot 9}$

Этап 8.4.2

Умножим $203$ на $9$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{1827}$

Этап 8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1250 + 4 \cdot 9}{1827}$

Этап 8.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{- 1250 + 36}{1827}$

Этап 8.6.2

Добавим $- 1250$ и $36$ .

$\frac{- 1214}{1827}$

Этап 8.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1214}{1827}$