Математический анализ Примеры

$y = (x^{2} - 143) e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 143$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 143) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 143]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 143]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 143$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 143]$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 143])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 143])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 143$ является константой относительно $x$ , производная $- 143$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Этап 1.1.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 143 e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 143 e^{x}$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 143 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 143 e^{x} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 143 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 143 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 143 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 143$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 143) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 143$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 143$ , а сумма — $2$ .

$- 11, 13$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$e^{x} ((x - 11) (x + 13)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{x} (x - 11) (x + 13) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 11 = 0$

$x + 13 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 11$ к $0$ .

$x - 11 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$x = 11$

Этап 2.6

Приравняем $x + 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 13$ к $0$ .

$x + 13 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$x = - 13$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x - 11) (x + 13) = 0$ верно.

$x = 11, - 13$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $(x^{2} - 143) e^{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $11$ вместо $x$ .

$({(11)}^{2} - 143) \cdot e^{11}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$(121 - 143) \cdot e^{11}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $143$ из $121$ .

$- 22 e^{11}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 13$ вместо $x$ .

$({(- 13)}^{2} - 143) \cdot e^{- 13}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 13$ в степень $2$ .

$(169 - 143) \cdot e^{- 13}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $143$ из $169$ .

$26 \cdot e^{- 13}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$26 \cdot \frac{1}{e^{13}}$

Этап 4.2.2.4

Объединим $26$ и $\frac{1}{e^{13}}$ .

$\frac{26}{e^{13}}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(11, - 22 e^{11}), (- 13, \frac{26}{e^{13}})$

Этап 5