Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3

Умножим ${(x - 9)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.4.2

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем множитель $x - 9$ из $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.4.2.3

Вынесем множитель $x - 9$ из $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{4}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.6

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.8

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.9.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.9.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.10.2

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.10.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.10.4

Перепишем $- (x + 9)$ в виде $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x + 9 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 9)}^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 4

Вычислим $\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 9$ вместо $x$ .

$\frac{- 9}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $9$ из $- 9$ .

$\frac{- 9}{{(- 18)}^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$\frac{- 9}{324}$

Этап 4.1.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ и $324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{324}$

Этап 4.1.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $324$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Этап 4.1.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Этап 4.1.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{36}$

Этап 4.1.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{36}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$\frac{9}{{((9) - 9)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{9}{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{9}{0}$

Этап 4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 9, - \frac{1}{36})$

Этап 5