Математический анализ Примеры

$g (θ) = 32 θ - 8 \tan (θ)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $32 θ - 8 \tan (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [32 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 \tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (32 θ) + \frac{d}{d θ} (- 8 \tan (θ))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [32 θ]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $θ$ , производная $32 θ$ по $θ$ равна $32 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$f' (θ) = 32 \frac{d}{d θ} (θ) + \frac{d}{d θ} (- 8 \tan (θ))$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (θ) = 32 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} (- 8 \tan (θ))$

Этап 1.1.2.3

Умножим $32$ на $1$ .

$f' (θ) = 32 + \frac{d}{d θ} (- 8 \tan (θ))$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- 8 \tan (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $θ$ , производная $- 8 \tan (θ)$ по $θ$ равна $- 8 \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = 32 - 8 \frac{d}{d θ} \tan (θ)$

Этап 1.1.3.2

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 32 - 8 \sec^{2} (θ)$

Этап 1.2

Первая производная $g (θ)$ по $θ$ равна $32 - 8 \sec^{2} (θ)$ .

$32 - 8 \sec^{2} (θ)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $32 - 8 \sec^{2} (θ) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$32 - 8 \sec^{2} (θ) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$- 8 \sec^{2} (θ) = - 32$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 8 \sec^{2} (θ) = - 32$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 8 \sec^{2} (θ) = - 32$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 \sec^{2} (θ)}{- 8} = \frac{- 32}{- 8}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 \sec^{2} (θ)}{- 8} = \frac{- 32}{- 8}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sec^{2} (θ)$ на $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{- 32}{- 8}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 32$ на $- 8$ .

$\sec^{2} (θ) = 4$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (θ) = \pm 2$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (θ) = 2$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (θ) = - 2$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (θ) = 2, - 2$

Этап 2.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - 2$

Этап 2.8

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (2)$

Этап 2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 2.8.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 2.8.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 2.8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 2.8.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Этап 2.8.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (- 2)$

Этап 2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Точное значение $arcsec (- 2)$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 2.9.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.9.4

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.9.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.9.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 2.9.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 2.9.4.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 2.9.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (θ)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4

Вычислим $32 θ - 8 \tan (θ)$ для каждого значения $θ$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $θ = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{π}{3}) - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $32$ и $\frac{π}{3}$ .

$\frac{32 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{32 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.2

Найдем значение в $θ = \frac{7 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{7 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{7 π}{3}) - 8 \tan (\frac{7 π}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $32 (\frac{7 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{7 π}{3}$ .

$\frac{32 (7 π)}{3} - 8 \tan (\frac{7 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $7$ на $32$ .

$\frac{224 π}{3} - 8 \tan (\frac{7 π}{3})$

Этап 4.2.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{224 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.2.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{224 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.3

Найдем значение в $θ = \frac{13 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{13 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{13 π}{3}) - 8 \tan (\frac{13 π}{3})$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $32 (\frac{13 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{13 π}{3}$ .

$\frac{32 (13 π)}{3} - 8 \tan (\frac{13 π}{3})$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $13$ на $32$ .

$\frac{416 π}{3} - 8 \tan (\frac{13 π}{3})$

Этап 4.3.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{416 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{416 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.4

Найдем значение в $θ = \frac{19 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{19 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{19 π}{3}) - 8 \tan (\frac{19 π}{3})$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $32 (\frac{19 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{19 π}{3}$ .

$\frac{32 (19 π)}{3} - 8 \tan (\frac{19 π}{3})$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $19$ на $32$ .

$\frac{608 π}{3} - 8 \tan (\frac{19 π}{3})$

Этап 4.4.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{608 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.4.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{608 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.5

Найдем значение в $θ = \frac{25 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{25 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{25 π}{3}) - 8 \tan (\frac{25 π}{3})$

Этап 4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Умножим $32 (\frac{25 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{25 π}{3}$ .

$\frac{32 (25 π)}{3} - 8 \tan (\frac{25 π}{3})$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $25$ на $32$ .

$\frac{800 π}{3} - 8 \tan (\frac{25 π}{3})$

Этап 4.5.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{800 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.5.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{800 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.6

Найдем значение в $θ = \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Подставим $\frac{5 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{5 π}{3}) - 8 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Умножим $32 (\frac{5 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{5 π}{3}$ .

$\frac{32 (5 π)}{3} - 8 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.6.2.1.2

Умножим $5$ на $32$ .

$\frac{160 π}{3} - 8 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.6.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{160 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.6.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{160 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.6.2.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{160 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.7

Найдем значение в $θ = \frac{11 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Подставим $\frac{11 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{11 π}{3}) - 8 \tan (\frac{11 π}{3})$

Этап 4.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Умножим $32 (\frac{11 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{11 π}{3}$ .

$\frac{32 (11 π)}{3} - 8 \tan (\frac{11 π}{3})$

Этап 4.7.2.1.2

Умножим $11$ на $32$ .

$\frac{352 π}{3} - 8 \tan (\frac{11 π}{3})$

Этап 4.7.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{352 π}{3} - 8 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.7.2.3

$\frac{352 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.7.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{352 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.7.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{352 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.8

Найдем значение в $θ = \frac{17 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Подставим $\frac{17 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{17 π}{3}) - 8 \tan (\frac{17 π}{3})$

Этап 4.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Умножим $32 (\frac{17 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{17 π}{3}$ .

$\frac{32 (17 π)}{3} - 8 \tan (\frac{17 π}{3})$

Этап 4.8.2.1.2

Умножим $17$ на $32$ .

$\frac{544 π}{3} - 8 \tan (\frac{17 π}{3})$

Этап 4.8.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{544 π}{3} - 8 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.8.2.3

$\frac{544 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.8.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{544 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.8.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{544 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.9

Найдем значение в $θ = \frac{23 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Подставим $\frac{23 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{23 π}{3}) - 8 \tan (\frac{23 π}{3})$

Этап 4.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Умножим $32 (\frac{23 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{23 π}{3}$ .

$\frac{32 (23 π)}{3} - 8 \tan (\frac{23 π}{3})$

Этап 4.9.2.1.2

Умножим $23$ на $32$ .

$\frac{736 π}{3} - 8 \tan (\frac{23 π}{3})$

Этап 4.9.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{736 π}{3} - 8 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.9.2.3

$\frac{736 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.9.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{736 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.9.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{736 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.10

Найдем значение в $θ = \frac{29 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Подставим $\frac{29 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{29 π}{3}) - 8 \tan (\frac{29 π}{3})$

Этап 4.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Умножим $32 (\frac{29 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{29 π}{3}$ .

$\frac{32 (29 π)}{3} - 8 \tan (\frac{29 π}{3})$

Этап 4.10.2.1.2

Умножим $29$ на $32$ .

$\frac{928 π}{3} - 8 \tan (\frac{29 π}{3})$

Этап 4.10.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{928 π}{3} - 8 \tan (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.10.2.3

$\frac{928 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.10.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{928 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.10.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{928 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.11

Найдем значение в $θ = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Подставим $\frac{2 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{2 π}{3}) - 8 \tan (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Умножим $32 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{32 (2 π)}{3} - 8 \tan (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.11.2.1.2

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{64 π}{3} - 8 \tan (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.11.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{64 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.11.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{64 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.11.2.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{64 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.12

Найдем значение в $θ = \frac{8 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Подставим $\frac{8 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{8 π}{3}) - 8 \tan (\frac{8 π}{3})$

Этап 4.12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1

Умножим $32 (\frac{8 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{8 π}{3}$ .

$\frac{32 (8 π)}{3} - 8 \tan (\frac{8 π}{3})$

Этап 4.12.2.1.2

Умножим $8$ на $32$ .

$\frac{256 π}{3} - 8 \tan (\frac{8 π}{3})$

Этап 4.12.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{256 π}{3} - 8 \tan (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.12.2.3

$\frac{256 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.12.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{256 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.12.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{256 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.13

Найдем значение в $θ = \frac{14 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Подставим $\frac{14 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{14 π}{3}) - 8 \tan (\frac{14 π}{3})$

Этап 4.13.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.2.1

Умножим $32 (\frac{14 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{14 π}{3}$ .

$\frac{32 (14 π)}{3} - 8 \tan (\frac{14 π}{3})$

Этап 4.13.2.1.2

Умножим $14$ на $32$ .

$\frac{448 π}{3} - 8 \tan (\frac{14 π}{3})$

Этап 4.13.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{448 π}{3} - 8 \tan (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.13.2.3

$\frac{448 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.13.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{448 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.13.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{448 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.14

Найдем значение в $θ = \frac{20 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Подставим $\frac{20 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{20 π}{3}) - 8 \tan (\frac{20 π}{3})$

Этап 4.14.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.2.1

Умножим $32 (\frac{20 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{20 π}{3}$ .

$\frac{32 (20 π)}{3} - 8 \tan (\frac{20 π}{3})$

Этап 4.14.2.1.2

Умножим $20$ на $32$ .

$\frac{640 π}{3} - 8 \tan (\frac{20 π}{3})$

Этап 4.14.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{640 π}{3} - 8 \tan (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.14.2.3

$\frac{640 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.14.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{640 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.14.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{640 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.15

Найдем значение в $θ = \frac{26 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Подставим $\frac{26 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{26 π}{3}) - 8 \tan (\frac{26 π}{3})$

Этап 4.15.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.2.1

Умножим $32 (\frac{26 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{26 π}{3}$ .

$\frac{32 (26 π)}{3} - 8 \tan (\frac{26 π}{3})$

Этап 4.15.2.1.2

Умножим $26$ на $32$ .

$\frac{832 π}{3} - 8 \tan (\frac{26 π}{3})$

Этап 4.15.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{832 π}{3} - 8 \tan (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.15.2.3

$\frac{832 π}{3} - 8 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Этап 4.15.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{832 π}{3} - 8 (- \sqrt{3})$

Этап 4.15.2.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{832 π}{3} + 8 \sqrt{3}$

Этап 4.16

Найдем значение в $θ = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1

Подставим $\frac{4 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{4 π}{3}) - 8 \tan (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.16.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.2.1

Умножим $32 (\frac{4 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{32 (4 π)}{3} - 8 \tan (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.16.2.1.2

Умножим $4$ на $32$ .

$\frac{128 π}{3} - 8 \tan (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.16.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{128 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.16.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{128 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.17

Найдем значение в $θ = \frac{10 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Подставим $\frac{10 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{10 π}{3}) - 8 \tan (\frac{10 π}{3})$

Этап 4.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.1

Умножим $32 (\frac{10 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{10 π}{3}$ .

$\frac{32 (10 π)}{3} - 8 \tan (\frac{10 π}{3})$

Этап 4.17.2.1.2

Умножим $10$ на $32$ .

$\frac{320 π}{3} - 8 \tan (\frac{10 π}{3})$

Этап 4.17.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{320 π}{3} - 8 \tan (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.17.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{320 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.17.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{320 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.18

Найдем значение в $θ = \frac{16 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Подставим $\frac{16 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{16 π}{3}) - 8 \tan (\frac{16 π}{3})$

Этап 4.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.2.1

Умножим $32 (\frac{16 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{16 π}{3}$ .

$\frac{32 (16 π)}{3} - 8 \tan (\frac{16 π}{3})$

Этап 4.18.2.1.2

Умножим $16$ на $32$ .

$\frac{512 π}{3} - 8 \tan (\frac{16 π}{3})$

Этап 4.18.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{512 π}{3} - 8 \tan (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.18.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{512 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.18.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{512 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.19

Найдем значение в $θ = \frac{22 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Подставим $\frac{22 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{22 π}{3}) - 8 \tan (\frac{22 π}{3})$

Этап 4.19.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.2.1

Умножим $32 (\frac{22 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{22 π}{3}$ .

$\frac{32 (22 π)}{3} - 8 \tan (\frac{22 π}{3})$

Этап 4.19.2.1.2

Умножим $22$ на $32$ .

$\frac{704 π}{3} - 8 \tan (\frac{22 π}{3})$

Этап 4.19.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{704 π}{3} - 8 \tan (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.19.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{704 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.19.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{704 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.20

Найдем значение в $θ = \frac{28 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Подставим $\frac{28 π}{3}$ вместо $θ$ .

$32 (\frac{28 π}{3}) - 8 \tan (\frac{28 π}{3})$

Этап 4.20.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.2.1

Умножим $32 (\frac{28 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.2.1.1

Объединим $32$ и $\frac{28 π}{3}$ .

$\frac{32 (28 π)}{3} - 8 \tan (\frac{28 π}{3})$

Этап 4.20.2.1.2

Умножим $28$ на $32$ .

$\frac{896 π}{3} - 8 \tan (\frac{28 π}{3})$

Этап 4.20.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{896 π}{3} - 8 \tan (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.20.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{896 π}{3} - 8 \tan (\frac{π}{3})$

Этап 4.20.2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{896 π}{3} - 8 \sqrt{3}$

Этап 4.21

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{3}, \frac{32 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{7 π}{3}, \frac{224 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{13 π}{3}, \frac{416 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{19 π}{3}, \frac{608 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{25 π}{3}, \frac{800 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{5 π}{3}, \frac{160 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{3}, \frac{352 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{17 π}{3}, \frac{544 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{23 π}{3}, \frac{736 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{29 π}{3}, \frac{928 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{2 π}{3}, \frac{64 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{8 π}{3}, \frac{256 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{14 π}{3}, \frac{448 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{20 π}{3}, \frac{640 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{26 π}{3}, \frac{832 π}{3} + 8 \sqrt{3}), (\frac{4 π}{3}, \frac{128 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{10 π}{3}, \frac{320 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{16 π}{3}, \frac{512 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{22 π}{3}, \frac{704 π}{3} - 8 \sqrt{3}), (\frac{28 π}{3}, \frac{896 π}{3} - 8 \sqrt{3})$

Этап 5