Математический анализ Примеры

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \sec (x)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 1.2.3.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 1.2.4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 1.2.4.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 1.2.4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.4.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.6

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим аргумент в $\sec (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 1.4

Вычислим $- 5 \sec (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$- 5 \sec (0)$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$- 5 \sec (π)$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$- 5 (- \sec (0))$

Этап 1.4.2.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.4.2.2.3

Умножим $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Этап 1.4.2.2.3.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$5$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(0, - 5), (π, 5)$

Этап 3

Определим точки возможного максимума или минимума с помощью второй производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \sec (x) \tan (x)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.1.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.1.4

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.1.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.1.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.1.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Этап 3.1.7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Этап 3.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Этап 3.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 3.1.10.2

Изменим порядок членов.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Этап 3.2

Подставим $0$ вместо $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Этап 3.2.3

Возведем $0$ в степень $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Этап 3.2.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Этап 3.2.5

Найдем значение $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Этап 3.2.6

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Этап 3.2.7

Найдем значение $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Этап 3.2.8

Возведем $1$ в степень $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Этап 3.2.9

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5$

Этап 3.2.10

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$

Этап 3.3

Так как вторая производная отрицательна в точке $0$ , эта точка является максимумом.

$0$ — локальный максимум

Этап 3.4

Подставим $π$ вместо $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Этап 3.4.2

Найдем значение $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Этап 3.4.3

Возведем $0$ в степень $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Этап 3.4.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Этап 3.4.5

Найдем значение $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Этап 3.4.6

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Этап 3.4.7

Найдем значение $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Этап 3.4.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Этап 3.4.9

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$0 + 5$

Этап 3.4.10

Добавим $0$ и $5$ .

$5$

Этап 3.5

Так как вторая производная положительна в точке $π$ , эта точка является минимумом.

$π$ — локальный минимум

Этап 3.6

Выпишем локальные экстремумы

$0$ — локальный максимум

$π$ — локальный минимум

$0$ — локальный максимум

$π$ — локальный минимум

Этап 4

Сравним значения $g (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $g (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $g (x)$ .

Абсолютный максимум: $(0, - 5)$

Абсолютный минимум: $(π, 5)$

Этап 5