Математический анализ Примеры

$f (x) = x e^{- 5 x}$ , $0 \leq x \leq 2$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$x (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$x (e^{- 5 x} \cdot - 5) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.3.2

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$x (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.5

Умножим $e^{- 5 x}$ на $1$ .

$x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$- 5 e^{- 5 x} x + e^{- 5 x}$

Этап 1.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 5 e^{- 5 x} x + e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = - 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$ .

$- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x} = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $e^{- 5 x}$ из $- 5 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $e^{- 5 x}$ из $- 5 x e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} (- 5 x) + e^{- 5 x} = 0$

Этап 1.2.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{- 5 x} (- 5 x) + e^{- 5 x} \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $e^{- 5 x}$ из $e^{- 5 x} (- 5 x) + e^{- 5 x} \cdot 1$ .

$e^{- 5 x} (- 5 x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- 5 x} = 0$

$- 5 x + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $e^{- 5 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $e^{- 5 x}$ к $0$ .

$e^{- 5 x} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $e^{- 5 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 5 x}) = \ln (0)$

Этап 1.2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 1.2.4.2.3

Нет решения для $e^{- 5 x} = 0$

Нет решения

Этап 1.2.5

Приравняем $- 5 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $- 5 x + 1$ к $0$ .

$- 5 x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $- 5 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- 5 x} (- 5 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $x e^{- 5 x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{1}{5}$ вместо $x$ .

$(\frac{1}{5}) \cdot e^{- 5 (\frac{1}{5})}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{5 (- 1) \frac{1}{5}}$

Этап 1.4.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} \cdot e^{5 \cdot - 1 \frac{1}{5}}$

Этап 1.4.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} \cdot e^{- 1}$

Этап 1.4.1.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e}$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{5 e}$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{5}, \frac{1}{5 e})$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$(0) \cdot e^{- 5 \cdot 0}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 \cdot e^{0}$

Этап 2.1.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 2.1.2.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$(2) \cdot e^{- 5 \cdot 2}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$2 \cdot e^{- 10}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{e^{10}}$

Этап 2.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{10}}$ .

$\frac{2}{e^{10}}$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (2, \frac{2}{e^{10}})$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{1}{5}, \frac{1}{5 e})$

Абсолютный минимум: $(0, 0)$

Этап 4