Математический анализ Примеры

$f (x) = x + 8 \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x + 8 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 + 8 (- \sin (x))$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (x) = 1 - 8 \sin (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - 8 \sin (x)$ .

$1 - 8 \sin (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - 8 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - 8 \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 8 \sin (x) = - 1$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $- 8 \sin (x) = - 1$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $- 8 \sin (x) = - 1$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 8}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

Этап 1.2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$x = 0.12532783$

Этап 1.2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Этап 1.2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.12532783$

Этап 1.2.7.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Этап 1.2.7.3

Вычтем $0.12532783$ из $3.14159265$ .

$x = 3.01626482$

Этап 1.2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.12532783 + 2 π n, 3.01626482 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $x + 8 \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0.12532783$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0.12532783$ вместо $x$ .

$(0.12532783) + 8 \cos (0.12532783)$

Этап 1.4.1.2

Добавим $0.12532783$ и $8 \cos (0.12532783)$ .

$8.06258176$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 0.12532783 + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $0.12532783 + 2 π$ вместо $x$ .

$(0.12532783 + 2 π) + 8 \cos (0.12532783 + 2 π)$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Добавим $0.12532783$ и $2 π$ .

$0.12532783 + 2 π + 8 \cos (6.40851313)$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $0.12532783$ и $2 π$ .

$6.40851313 + 8 \cos (6.40851313)$

Этап 1.4.2.2.3

Добавим $6.40851313$ и $8 \cos (6.40851313)$ .

$14.34576707$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = 0.12532783 + 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $0.12532783 + 4 π$ вместо $x$ .

$(0.12532783 + 4 π) + 8 \cos (0.12532783 + 4 π)$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Добавим $0.12532783$ и $4 π$ .

$0.12532783 + 4 π + 8 \cos (12.69169844)$

Этап 1.4.3.2.2

Добавим $0.12532783$ и $4 π$ .

$12.69169844 + 8 \cos (12.69169844)$

Этап 1.4.3.2.3

Добавим $12.69169844$ и $8 \cos (12.69169844)$ .

$20.62895237$

Этап 1.4.4

Найдем значение в $x = 0.12532783 + 6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим $0.12532783 + 6 π$ вместо $x$ .

$(0.12532783 + 6 π) + 8 \cos (0.12532783 + 6 π)$

Этап 1.4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Добавим $0.12532783$ и $6 π$ .

$0.12532783 + 6 π + 8 \cos (18.97488375)$

Этап 1.4.4.2.2

Добавим $0.12532783$ и $6 π$ .

$18.97488375 + 8 \cos (18.97488375)$

Этап 1.4.4.2.3

Добавим $18.97488375$ и $8 \cos (18.97488375)$ .

$26.91213768$

Этап 1.4.5

Найдем значение в $x = 0.12532783 + 8 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Подставим $0.12532783 + 8 π$ вместо $x$ .

$(0.12532783 + 8 π) + 8 \cos (0.12532783 + 8 π)$

Этап 1.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Добавим $0.12532783$ и $8 π$ .

$0.12532783 + 8 π + 8 \cos (25.25806905)$

Этап 1.4.5.2.2

Добавим $0.12532783$ и $8 π$ .

$25.25806905 + 8 \cos (25.25806905)$

Этап 1.4.5.2.3

Добавим $25.25806905$ и $8 \cos (25.25806905)$ .

$33.19532299$

Этап 1.4.6

Найдем значение в $x = 3.01626482$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Подставим $3.01626482$ вместо $x$ .

$(3.01626482) + 8 \cos (3.01626482)$

Этап 1.4.6.2

Добавим $3.01626482$ и $8 \cos (3.01626482)$ .

$- 4.92098911$

Этап 1.4.7

Найдем значение в $x = 3.01626482 + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Подставим $3.01626482 + 2 π$ вместо $x$ .

$(3.01626482 + 2 π) + 8 \cos (3.01626482 + 2 π)$

Этап 1.4.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.2.1

Добавим $3.01626482$ и $2 π$ .

$3.01626482 + 2 π + 8 \cos (9.29945012)$

Этап 1.4.7.2.2

Добавим $3.01626482$ и $2 π$ .

$9.29945012 + 8 \cos (9.29945012)$

Этап 1.4.7.2.3

Добавим $9.29945012$ и $8 \cos (9.29945012)$ .

$1.36219619$

Этап 1.4.8

Найдем значение в $x = 3.01626482 + 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Подставим $3.01626482 + 4 π$ вместо $x$ .

$(3.01626482 + 4 π) + 8 \cos (3.01626482 + 4 π)$

Этап 1.4.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.2.1

Добавим $3.01626482$ и $4 π$ .

$3.01626482 + 4 π + 8 \cos (15.58263543)$

Этап 1.4.8.2.2

Добавим $3.01626482$ и $4 π$ .

$15.58263543 + 8 \cos (15.58263543)$

Этап 1.4.8.2.3

Добавим $15.58263543$ и $8 \cos (15.58263543)$ .

$7.6453815$

Этап 1.4.9

Найдем значение в $x = 3.01626482 + 6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1

Подставим $3.01626482 + 6 π$ вместо $x$ .

$(3.01626482 + 6 π) + 8 \cos (3.01626482 + 6 π)$

Этап 1.4.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.2.1

Добавим $3.01626482$ и $6 π$ .

$3.01626482 + 6 π + 8 \cos (21.86582074)$

Этап 1.4.9.2.2

Добавим $3.01626482$ и $6 π$ .

$21.86582074 + 8 \cos (21.86582074)$

Этап 1.4.9.2.3

Добавим $21.86582074$ и $8 \cos (21.86582074)$ .

$13.92856681$

Этап 1.4.10

Найдем значение в $x = 3.01626482 + 8 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.10.1

Подставим $3.01626482 + 8 π$ вместо $x$ .

$(3.01626482 + 8 π) + 8 \cos (3.01626482 + 8 π)$

Этап 1.4.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.10.2.1

Добавим $3.01626482$ и $8 π$ .

$3.01626482 + 8 π + 8 \cos (28.14900605)$

Этап 1.4.10.2.2

Добавим $3.01626482$ и $8 π$ .

$28.14900605 + 8 \cos (28.14900605)$

Этап 1.4.10.2.3

Добавим $28.14900605$ и $8 \cos (28.14900605)$ .

$20.21175211$

Этап 1.4.11

Перечислим все точки.

$(0.12532783, 8.06258176), (0.12532783 + 2 π, 14.34576707), (0.12532783 + 4 π, 20.62895237), (0.12532783 + 6 π, 26.91213768), (0.12532783 + 8 π, 33.19532299), (3.01626482, - 4.92098911), (3.01626482 + 2 π, 1.36219619), (3.01626482 + 4 π, 7.6453815), (3.01626482 + 6 π, 13.92856681), (3.01626482 + 8 π, 20.21175211)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(0.12532783, 8.06258176), (3.01626482, - 4.92098911)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$(0) + 8 \cos (0)$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$0 + 8$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$8$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $2 π$ вместо $x$ .

$(2 π) + 8 \cos (2 π)$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 π + 8 \cos (0)$

Этап 3.2.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 π + 8 \cdot 1$

Этап 3.2.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$2 π + 8$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, 8), (2 π, 2 π + 8)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(2 π, 2 π + 8)$

Абсолютный минимум: $(3.01626482, - 4.92098911)$

Этап 5