Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) + 8$ , $0 < x < 2 π$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (x) + 0$

Этап 1.1.1.3.2

Добавим $\cos (x)$ и $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 1.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\sin (x) + 8$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + 8$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$1 + 8$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $1$ и $8$ .

$9$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 8$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{2}) + 8$

Этап 1.4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1 + 8$

Этап 1.4.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 8$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $- 1$ и $8$ .

$7$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 9), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 7)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{π}{2}, 9), (\frac{3 π}{2}, 7)$

Этап 3

Определим точки возможного максимума или минимума с помощью первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Этап 3.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \frac{π}{2})$ в первую производную $\cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \cos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 3.2.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 3.3

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ в первую производную $\cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = \cos (3)$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Найдем значение $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.98999249$

Этап 3.3.2.2

Окончательный ответ: $- 0.98999249$ .

$- 0.98999249$

Этап 3.4

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ в первую производную $\cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = \cos (7)$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Найдем значение $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.75390225$

Этап 3.4.2.2

Окончательный ответ: $0.75390225$ .

$0.75390225$

Этап 3.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 3.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 3.7

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin (x) + 8$ .

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{π}{2}, 9)$

Абсолютный минимум: $(\frac{3 π}{2}, 7)$

Этап 5