Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$ , $0.6 \leq x \leq 5$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Этап 1.1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x^{2}, 1$

Этап 1.2.2.2

Так как $x, x^{2}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}, x^{2}$ .

Этап 1.2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.2.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.2.2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.2.2.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 1.2.2.8

НОК $x^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 1.2.2.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 1.2.3

Каждый член в $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x - 1 = 0 x^{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 1.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.3.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $\frac{1}{x} + \ln (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{1}{1} + \ln (1)$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Разделим $1$ на $1$ .

$1 + \ln (1)$

Этап 1.4.1.2.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{1}{0} + \ln (0)$

Этап 1.4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(1, 1)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = 0.6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $0.6$ вместо $x$ .

$\frac{1}{0.6} + \ln (0.6)$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим $1$ на $0.6$ .

$1.\overline{6} + \ln (0.6)$

Этап 2.1.2.2

Добавим $1.\overline{6}$ и $\ln (0.6)$ .

$1.15584104$

Этап 2.2

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\frac{1}{5} + \ln (5)$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(0.6, 1.15584104), (5, \frac{1}{5} + \ln (5))$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(5, \frac{1}{5} + \ln (5))$

Абсолютный минимум: $(1, 1)$

Этап 4