Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x + x^{2}$ ; $(- \infty, \infty)$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $4 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 + 2 x$

Этап 1.1.1.3.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x + 4$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x + 4$ .

$2 x + 4$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x + 4 = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 4$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 x = - 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = - 4$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $- 4$ на $2$ .

$x = - 2$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $4 x + x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$4 (- 2) + {(- 2)}^{2}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2}$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(- 2, - 4)$

Этап 2

Определим точки возможного максимума или минимума с помощью первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 2.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $2 x + 4$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 2 (- 4) + 4$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 8 + 4$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$f' (- 4) = - 4$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- 2, \infty)$ в первую производную $2 x + 4$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 2 (0) + 4$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 4$

Этап 2.3.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f' (0) = 4$

Этап 2.3.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 2$ , $x = - 2$ — локальный минимум.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Нет абсолютного максимума

Абсолютный минимум: $(- 2, - 4)$

Этап 4