Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cot (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 1.1.1.3.2.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 1.1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 1.1.1.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Этап 1.1.1.3.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Этап 1.1.1.3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 + 8 (- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2})$

Этап 1.1.1.3.7

Умножим $- 1$ на $8$ .

$8 - 8 \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 1.1.1.3.8

Объединим $- 8$ и $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$8 + \frac{- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 1.1.1.3.9

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2}$

Этап 1.1.1.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Этап 1.1.1.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + \frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{1}$

Этап 1.1.1.3.9.2.4

Разделим $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$f' (x) = 8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $- 8$ на $- 4$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = 2$

Этап 1.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{2}$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 1.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Этап 1.2.7

Решим относительно $x$ в $\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$\frac{x}{2} = arccsc (\sqrt{2})$

Этап 1.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Точное значение $arccsc (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 1.2.7.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.7.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.7.5

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.7.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Этап 1.2.7.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Этап 1.2.7.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - \frac{π}{4})$

Этап 1.2.7.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.2.1

Упростим $2 (π - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 1.2.7.6.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 1.2.7.6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 1.2.7.6.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Этап 1.2.7.6.2.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.7.6.2.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{2}$

Этап 1.2.7.6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.6.2.2.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{2}$

Этап 1.2.7.6.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.7.7

Найдем период $\csc (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.7.7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 1.2.7.7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.7.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 1.2.7.7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 1.2.7.8

Период функции $\csc (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Решим относительно $x$ в $\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$\frac{x}{2} = arccsc (- \sqrt{2})$

Этап 1.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Точное значение $arccsc (- \sqrt{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.8.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Этап 1.2.8.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Этап 1.2.8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{π}{4})$

Этап 1.2.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.2.1

Упростим $2 (- \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$x = 2 \frac{- π}{4}$

Этап 1.2.8.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Этап 1.2.8.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.8.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- π}{2}$

Этап 1.2.8.4.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.8.5

Функция косеканса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 1.2.8.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 1.2.8.6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.8.6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.6.3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.8.6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.8.6.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.8.6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.6.3.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (2)}$

Этап 1.2.8.6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.8.6.3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5 π}{2}$

Этап 1.2.8.7

Найдем период $\csc (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.8.7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 1.2.8.7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.8.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 1.2.8.7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 1.2.8.8

Добавим $4 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.8.1

Добавим $4 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 4 π$

Этап 1.2.8.8.2

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.8.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.8.3.1

Объединим $4 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.8.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.8.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.8.4.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 π - π}{2}$

Этап 1.2.8.8.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{2}$

Этап 1.2.8.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{2}$

Этап 1.2.8.9

$x = \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим аргумент в $\csc (\frac{x}{2})$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x}{2} = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Этап 1.3.2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π n)$

Этап 1.3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 π n$

Этап 1.3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = 2 π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 1.4

Вычислим $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Этап 1.4.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Этап 1.4.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$4 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.1.2.4

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$4 π + 8 \cdot 1$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $8$ на $1$ .

$4 π + 8$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{3 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (3 π) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.2.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.2.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.4.2.2.4

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.4.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.2.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{4})$

Этап 1.4.2.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен во втором квадранте.

$12 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 1.4.2.2.6

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$12 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.4.2.2.7

Умножим $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$12 π + 8 \cdot - 1$

Этап 1.4.2.2.7.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$12 π - 8$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $\frac{5 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{5 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (5 π) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.3.2.2

Умножим $5$ на $4$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.4.3.2.4

Умножим $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.4.1

Умножим $\frac{5 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.3.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{4})$

Этап 1.4.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$20 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.3.2.6

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$20 π + 8 \cdot 1$

Этап 1.4.3.2.7

Умножим $8$ на $1$ .

$20 π + 8$

Этап 1.4.4

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим $\frac{7 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{7 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.4.2.2

Умножим $7$ на $4$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.4.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.4.4.2.4

Умножим $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.4.1

Умножим $\frac{7 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.4.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4})$

Этап 1.4.4.2.5

$28 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Этап 1.4.4.2.6

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$28 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.4.4.2.7

Умножим $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$28 π + 8 \cdot - 1$

Этап 1.4.4.2.7.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$28 π - 8$

Этап 1.4.5

Найдем значение в $x = \frac{9 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Подставим $\frac{9 π}{2}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{9 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$4 (9 π) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.5.2.2

Умножим $9$ на $4$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Этап 1.4.5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.4.5.2.4

Умножим $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.4.1

Умножим $\frac{9 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Этап 1.4.5.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{4})$

Этап 1.4.5.2.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Этап 1.4.5.2.6

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$36 π + 8 \cdot 1$

Этап 1.4.5.2.7

Умножим $8$ на $1$ .

$36 π + 8$

Этап 1.4.6

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8), (\frac{5 π}{2}, 20 π + 8), (\frac{7 π}{2}, 28 π - 8), (\frac{9 π}{2}, 36 π + 8)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 (2) \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 3.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 2 \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 3.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 3.1.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.3

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4 \cdot 2})$

Этап 3.1.2.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{8})$

Этап 3.1.2.4

Точное значение $\cot (\frac{π}{8})$ : $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 3.1.2.4.2

Применим обратное тождество.

$2 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

Этап 3.1.2.4.3

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$2 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Этап 3.1.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку котангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Этап 3.1.2.4.5

Упростим $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Этап 3.1.2.4.5.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Этап 3.1.2.4.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Этап 3.1.2.4.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 3.1.2.4.5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 3.1.2.4.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.2.1

Сократим общий множитель.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.2.2

Перепишем это выражение.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.3

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.4

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.6

Упростим.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.9

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.10

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.10.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.10.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.10.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.10.4

Запишем $- \sqrt{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.10.5

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.10.6

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.5

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.12.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.12.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.12.8.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.13

Добавим $4$ и $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.14

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.15

Сократим общий множитель $6 - 4 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.15.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.5.3.15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.15.4.2

Сократим общий множитель.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.15.4.3

Перепишем это выражение.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Этап 3.1.2.4.5.3.15.4.4

Разделим $3 - 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 3.1.2.5

Объединим $8$ и $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $\frac{7 π}{4}$ вместо $x$ .

$8 (\frac{7 π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 (2) \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 2 \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Этап 3.2.2.2

Умножим $7$ на $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Этап 3.2.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Умножим $\frac{7 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4 \cdot 2})$

Этап 3.2.2.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{8})$

Этап 3.2.2.5

Точное значение $\cot (\frac{7 π}{8})$ : $- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.1

Представим $\frac{7 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Этап 3.2.2.5.2

Применим обратное тождество.

$14 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}$

Этап 3.2.2.5.3

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$14 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Этап 3.2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку котангенс принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$14 π + 8 \frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Этап 3.2.2.5.5

Упростим $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$14 π + 8 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Этап 3.2.2.5.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Этап 3.2.2.5.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Этап 3.2.2.5.5.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Этап 3.2.2.5.5.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Этап 3.2.2.5.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Этап 3.2.2.5.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}})$

Этап 3.2.2.5.5.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Этап 3.2.2.5.5.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Этап 3.2.2.5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.2.1

Сократим общий множитель.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.2.2

Перепишем это выражение.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.3

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.4

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.6

Упростим.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.8.1

Сократим общий множитель.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.8.2

Перепишем это выражение.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.9

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.10

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.10.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.10.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.10.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.10.4

Запишем $- \sqrt{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.10.5

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.10.6

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.5

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.12.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.6

Применим свойство дистрибутивности.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.12.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.12.8.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.13

Добавим $4$ и $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.14

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.15

Сократим общий множитель $6 - 4 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.15.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.15.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.5.4.15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.15.4.2

Сократим общий множитель.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.15.4.3

Перепишем это выражение.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}})$

Этап 3.2.2.5.5.4.15.4.4

Разделим $3 - 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Этап 3.2.2.6

Умножим $8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$14 π - 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 3.2.2.6.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$14 π + \frac{- 8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 3.2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4}, 2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}), (\frac{7 π}{4}, 14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Абсолютный минимум: $(\frac{π}{2}, 4 π + 8)$

Этап 5