Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 49}$ в виде ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 1.10

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.3

Упростим.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.4.2

Умножим ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.5.2

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.10.3

Перенесем ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{x^{2} + 49}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $x^{2} + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Этап 2.13

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 49}$

Этап 2.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 49}$

Этап 2.14.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Этап 2.14.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Этап 2.14.4

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.20.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.20.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.22

Чтобы записать ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.24

Умножим ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.24.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.24.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.24.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 49) - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.25

Упростим ${(x^{2} + 49)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 49 - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.26

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.27

Добавим $0$ и $49$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Этап 2.28

Перепишем $\frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 49}$

Этап 2.29

Умножим $\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 49}$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Этап 2.30

Умножим ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 49$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.1

Умножим ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.1.1

Возведем $x^{2} + 49$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Этап 2.30.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.30.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.30.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.30.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 49}$ в виде ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Этап 4.1.10

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 4.1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 4.1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 4.1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{49}{{({(0)}^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{49}{{(0 + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Добавим $0$ и $49$ .

$\frac{49}{49^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{49}{{(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{49}{7^{3}}$

Этап 9.1.6

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{49}{343}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $49$ и $343$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $49$ из $49$ .

$\frac{49 (1)}{343}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $49$ из $343$ .

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt{{(0)}^{2} + 49}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 49}$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $49$ .

$f (0) = \sqrt{49}$

Этап 11.2.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{7^{2}}$

Этап 11.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 7$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $7$ .

$y = 7$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$ .

$(0, 7)$ — локальный минимум

Этап 13