Математический анализ Примеры

$y = x - \sin (x)$

Этап 1

Запишем $y = x - \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = x - \sin (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Этап 3.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Этап 3.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 - \cos (x) = 0$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - 1$

Этап 6

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Этап 7

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 10

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 11

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\sin (0)$

Этап 13

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $1 - \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 1 - \cos (- 2)$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Найдем значение $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Этап 14.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Этап 14.2.2.2

Добавим $1$ и $0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.41614683$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $1.41614683$ .

$1.41614683$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(0, 2 π)$ в первую производную $1 - \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 1 - \cos (3)$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Найдем значение $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Этап 14.3.2.2

Добавим $1$ и $0.98999249$ .

$f' (3) = 1.98999249$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $1.98999249$ .

$1.98999249$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $9$ , из интервала $(2 π, \infty)$ в первую производную $1 - \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = 1 - \cos (9)$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Найдем значение $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Этап 14.4.2.2

Добавим $1$ и $0.91113026$ .

$f' (9) = 1.91113026$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $1.91113026$ .

$1.91113026$

Этап 14.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.6

Локальный минимум или минимум для $f (x) = x - \sin (x)$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 15