Математический анализ Примеры

$y = x - \cos (x)$

Этап 1

Запишем $y = x - \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = x - \cos (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 - - \sin (x)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 1 \sin (x)$

Этап 2.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$1 + \sin (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 3.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \cos (x)$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \cos (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 + \sin (x) = 0$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 8

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 9

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 9.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 10

Решение уравнения $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\cos (- \frac{π}{2})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 12.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{2})$

Этап 12.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0$

Этап 13

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Этап 13.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - \frac{π}{2})$ в первую производную $1 + \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 1 + \sin (- 4)$

Этап 13.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Найдем значение $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 1 + 0.75680249$

Этап 13.2.2.2

Добавим $1$ и $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 1.75680249$

Этап 13.2.2.3

Окончательный ответ: $1.75680249$ .

$1.75680249$

Этап 13.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ в первую производную $1 + \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 1 + \sin (0)$

Этап 13.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Этап 13.3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (0) = 1$

Этап 13.3.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 13.4

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ в первую производную $1 + \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = 1 + \sin (7)$

Этап 13.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Найдем значение $\sin (7)$ .

$f' (7) = 1 + 0.65698659$

Этап 13.4.2.2

Добавим $1$ и $0.65698659$ .

$f' (7) = 1.65698659$

Этап 13.4.2.3

Окончательный ответ: $1.65698659$ .

$1.65698659$

Этап 13.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = - \frac{π}{2}$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 13.6

Локальный минимум или минимум для $f (x) = x - \cos (x)$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 14