Математический анализ Примеры

$y = 4 x - \ln (x)$

Этап 1

Запишем $y = 4 x - \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $4 x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.1.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.2.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.1.2.4.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = 4 x - \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(0, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6