Математический анализ Примеры

$f (t) = t^{- 4} \sin (t)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{- 4}$ и $g (t) = \sin (t)$ .

$t^{- 4} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Этап 2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) (- 4 t^{- 5})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) (- 4 \frac{1}{t^{5}})$

Этап 4.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{t^{5}}$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) \frac{- 4}{t^{5}}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) (- \frac{4}{t^{5}})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\sin (t)$ и $\frac{4}{t^{5}}$ .

$t^{- 4} \cos (t) - \frac{\sin (t) \cdot 4}{t^{5}}$

Этап 5.1.2

Перенесем $4$ влево от $\sin (t)$ .

$t^{- 4} \cos (t) - \frac{4 \sin (t)}{t^{5}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{4}} \cos (t) - \frac{4 \sin (t)}{t^{5}}$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{t^{4}}$ и $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t)}{t^{4}} - \frac{4 \sin (t)}{t^{5}}$