Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{5} (x^{3} - 8 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{5}$ и $g (x) = x^{3} - 8 x$ .

$3 x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$3 x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8 \cdot 1) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) (3 (5 x^{4}))$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $3$ .

$3 x^{5} (3 x^{2} - 8) + (x^{3} - 8 x) (15 x^{4})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{5} (3 x^{2}) + 3 x^{5} \cdot - 8 + (x^{3} - 8 x) (15 x^{4})$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{5} (3 x^{2}) + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{5} x^{2} + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{5}) + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{2 + 5} + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.2.3

Добавим $2$ и $5$ .

$9 x^{7} + 3 x^{5} \cdot - 8 + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.3

Умножим $- 8$ на $3$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{3} (15 x^{4}) - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{4} x^{3} \cdot 15 - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{4 + 3} \cdot 15 - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.4.3

Добавим $4$ и $3$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + x^{7} \cdot 15 - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.5

Перенесем $15$ влево от $x^{7}$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 \cdot x^{7} - 8 x (15 x^{4})$

Этап 5.3.6

Умножим $15$ на $- 8$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 x \cdot x^{4}$

Этап 5.3.7

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 (x^{4} x)$

Этап 5.3.7.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 (x^{4} x^{1})$

Этап 5.3.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 x^{4 + 1}$

Этап 5.3.7.3

Добавим $4$ и $1$ .

$9 x^{7} - 24 x^{5} + 15 x^{7} - 120 x^{5}$

Этап 5.3.8

Добавим $9 x^{7}$ и $15 x^{7}$ .

$24 x^{7} - 24 x^{5} - 120 x^{5}$

Этап 5.3.9

Вычтем $120 x^{5}$ из $- 24 x^{5}$ .

$24 x^{7} - 144 x^{5}$