Математический анализ Примеры

$g (x) = 3 {(x^{3} - 6)}^{2} {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 {(x^{3} - 6)}^{2}$ и $g (x) = {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x - 6)}^{10}] + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{10}$ и $g (x) = x^{2} + 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + 4 x - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + 4 x - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 6]) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 6])) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4 + 0)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3.7

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} \frac{d}{d x} [3 {(x^{3} - 6)}^{2}]$

Этап 3.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 {(x^{3} - 6)}^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3} - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3} - 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (3 (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 5.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2} + 0))$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (6 (x^{3} - 6) (3 x^{2}))$

Этап 5.5.2

Умножим $3$ на $6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 (x^{3} - 6) x^{2})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} ((18 x^{3} + 18 \cdot - 6) x^{2})$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{3} x^{2} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

Этап 6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 (x^{2} x^{3}) + 18 \cdot - 6 x^{2})$

Этап 6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{2 + 3} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

Этап 6.3.1.3

Добавим $2$ и $3$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} + 18 \cdot - 6 x^{2})$

Этап 6.3.2

Умножим $18$ на $- 6$ .

$3 {(x^{3} - 6)}^{2} (10 {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $10$ на $3$ .

$30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

Этап 7.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ из $30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ из $30 {(x^{3} - 6)}^{2} ({(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (2 x + 4))$ .

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ из ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{10} (18 x^{5} - 108 x^{2})$ .

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} ((x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$

Этап 7.2.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9}$ из ${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4)) + {(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} ((x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$ .

${(x^{2} + 4 x - 6)}^{9} (30 {(x^{3} - 6)}^{2} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 6) (18 x^{5} - 108 x^{2}))$