Математический анализ Примеры

$x^{2} (3 x^{3} - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 x^{3} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1] + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 0) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.2

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) (2 x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Этап 5.2.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Этап 5.2.2

Перенесем $9$ влево от $x^{4}$ .

$9 \cdot x^{4} + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{3} x - 1 (2 x)$

Этап 5.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{3}) - 1 (2 x)$

Этап 5.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{4} + 6 x^{1 + 3} - 1 (2 x)$

Этап 5.2.6

Добавим $1$ и $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 1 (2 x)$

Этап 5.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 2 x$

Этап 5.2.8

Добавим $9 x^{4}$ и $6 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 2 x$