Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \div \frac{3 x + 30 y}{x - y}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot - 20 = - 20$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - 20 y^{2} + 8 x y}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.1.2

Изменим порядок $- 20 y^{2}$ и $8 x y$ .

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x y$ .

$\frac{x^{2} + 8 (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.1.4

Запишем $8$ как $- 2$ плюс $10$

$\frac{x^{2} + (- 2 + 10) (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 2 (x y) + 10 (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{x^{2} - 2 x y + 10 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x^{2} - 2 x y) + 10 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (x - 2 y) + 10 y (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Этап 3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 30 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x) + 30 y}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $3$ из $30 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x) + 3 (10 y)}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (10 y)$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x + 10 y)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x + 10 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x + 10 y$ из $(x - 2 y) (x + 10 y)$ .

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x + 10 y)}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x + 10 y$ из $3 (x + 10 y)$ .

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{(x + 10 y) \cdot 3}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{(x + 10 y) \cdot 3}$

Этап 4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 2 y}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3}$

Этап 5

Умножим $\frac{x - 2 y}{x + 3 y}$ на $\frac{x - y}{3}$ .

$\frac{(x - 2 y) (x - y)}{(x + 3 y) \cdot 3}$

Этап 6

Перенесем $3$ влево от $x + 3 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Этап 7

Развернем $(x - 2 y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - y) - 2 y (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x (- y) - 2 y (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x (- y) - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x (- y) - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 y \cdot y}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Перенесем $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 (y \cdot y)}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8.2

Вычтем $2 y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 8.2.2

Вычтем $2 x y$ из $- x y$ .

$\frac{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 9

Разобьем дробь $\frac{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$ на две дроби.

$\frac{x^{2} - 3 x y}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 10

Разобьем дробь $\frac{x^{2} - 3 x y}{3 (x + 3 y)}$ на две дроби.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 3 x y}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 11

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x y$ .

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{3 (- x y)}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{3 (- x y)}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{- x y}{x + 3 y} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Этап 12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} - \frac{x y}{x + 3 y} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$