Математический анализ Примеры

$\sum_{x = 1}^{4} {(x - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Этап 1.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Этап 1.1.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}$

Этап 1.1.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}$

Этап 1.1.5.4

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Этап 1.2

Добавим $x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x + 1$

Этап 1.3

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$4 x^{2} + x + 1 + x^{3} + 1$

Этап 1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Этап 1.5

Переделаем суммирование.

$\sum_{x = 1}^{4} 4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $x$ .

$4 \cdot 1^{2} + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$4 \cdot 1 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.3

Добавим $4$ и $1$ .

$5 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.4

Возведем $1$ в степень $3$ .

$5 + 1 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.5

Добавим $5$ и $1$ .

$6 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.6

Добавим $6$ и $2$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.8

Умножим $4$ на $4$ .

$8 + 16 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.9

Добавим $16$ и $2$ .

$8 + 18 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 18 + 8 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.11

Добавим $18$ и $8$ .

$8 + 26 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.12

Добавим $26$ и $2$ .

$8 + 28 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.13

Добавим $8$ и $28$ .

$36 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.14

Возведем $3$ в степень $2$ .

$36 + 4 \cdot 9 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.15

Умножим $4$ на $9$ .

$36 + 36 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.16

Добавим $36$ и $3$ .

$36 + 39 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.17

Возведем $3$ в степень $3$ .

$36 + 39 + 27 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.18

Добавим $39$ и $27$ .

$36 + 66 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.19

Добавим $66$ и $2$ .

$36 + 68 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.20

Добавим $36$ и $68$ .

$104 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.21

Возведем $4$ в степень $2$ .

$104 + 4 \cdot 16 + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.22

Умножим $4$ на $16$ .

$104 + 64 + 4 + 4^{3} + 2$

Этап 3.23

Добавим $64$ и $4$ .

$104 + 68 + 4^{3} + 2$

Этап 3.24

Возведем $4$ в степень $3$ .

$104 + 68 + 64 + 2$

Этап 3.25

Добавим $68$ и $64$ .

$104 + 132 + 2$

Этап 3.26

Добавим $132$ и $2$ .

$104 + 134$

Этап 3.27

Добавим $104$ и $134$ .

$238$