Математический анализ Примеры

$2 \sum_{k = 1}^{10} 100 - {(- 10 + 2 k)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(- 10 + 2 k)}^{2}$ в виде $(- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k)$ .

$100 - ((- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k))$

Этап 1.1.2

Развернем $(- 10 + 2 k) (- 10 + 2 k)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$100 - (- 10 (- 10 + 2 k) + 2 k (- 10 + 2 k))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$100 - (- 10 \cdot - 10 - 10 (2 k) + 2 k (- 10 + 2 k))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$100 - (- 10 \cdot - 10 - 10 (2 k) + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $- 10$ на $- 10$ .

$100 - (100 - 10 (2 k) + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $2$ на $- 10$ .

$100 - (100 - 20 k + 2 k \cdot - 10 + 2 k (2 k))$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $- 10$ на $2$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 k (2 k))$

Этап 1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 k \cdot k)$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.5.1

Перенесем $k$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 (k \cdot k))$

Этап 1.1.3.1.5.2

Умножим $k$ на $k$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 2 \cdot 2 k^{2})$

Этап 1.1.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$100 - (100 - 20 k - 20 k + 4 k^{2})$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $20 k$ из $- 20 k$ .

$100 - (100 - 40 k + 4 k^{2})$

Этап 1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$100 - 1 \cdot 100 - (- 40 k) - (4 k^{2})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $100$ .

$100 - 100 - (- 40 k) - (4 k^{2})$

Этап 1.1.5.2

Умножим $- 40$ на $- 1$ .

$100 - 100 + 40 k - (4 k^{2})$

Этап 1.1.5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$100 - 100 + 40 k - 4 k^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $100$ из $100$ .

$0 + 40 k - 4 k^{2}$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $40 k$ .

$40 k - 4 k^{2}$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$2 \sum_{k = 1}^{10} 40 k - 4 k^{2}$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$2 \sum_{k = 1}^{10} 40 k - 4 k^{2} = (2 \cdot 40) \sum_{k = 1}^{10} k + (2 \cdot - 4) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

Этап 3

Найдем значение $(2 \cdot 40) \sum_{k = 1}^{10} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(2 \cdot 40) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$2 \cdot 40 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $10$ на $11$ .

$2 \cdot 40 \frac{110}{2}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 40$ .

$2 (40) \frac{110}{2}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 40 \frac{110}{2}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$40 \cdot 110$

Этап 3.3.3

Умножим $40$ на $110$ .

$4400$

Этап 4

Найдем значение $(2 \cdot - 4) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(2 \cdot - 4) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$2 \cdot - 4 \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $10$ на $11$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $2$ на $10$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $20$ и $1$ .

$2 \cdot - 4 \frac{110 \cdot 21}{6}$

Этап 4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $110$ на $21$ .

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{6}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 (\frac{2310}{6})$

Этап 4.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{2310}{6}$

Этап 4.3.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 4 \frac{2310}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.3.4

Перепишем это выражение.

$- 4 (\frac{2310}{3})$

Этап 4.3.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{2310}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2310}{3}$

Этап 4.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Умножим $- 4$ на $2310$ .

$\frac{- 9240}{3}$

Этап 4.3.2.5.2

Разделим $- 9240$ на $3$ .

$- 3080$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$4400 - 3080$

Этап 6

Вычтем $3080$ из $4400$ .

$1320$