Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{6} {(k)}^{3} - {(k - 1)}^{3}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$k^{3} - (k^{3} + 3 k^{2} \cdot - 1 + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Этап 1.1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k + {(- 1)}^{3})$

Этап 1.1.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k - 1)$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k^{3} - k^{3} - (- 3 k^{2}) - (3 k) - - 1$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - (3 k) - - 1$

Этап 1.1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k - - 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k + 1$

Этап 1.2

Вычтем $k^{3}$ из $k^{3}$ .

$0 + 3 k^{2} - 3 k + 1$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $3 k^{2}$ .

$3 k^{2} - 3 k + 1$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1 = 3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} - 3 \sum_{k = 1}^{6} k + \sum_{k = 1}^{6} 1$

Этап 3

Найдем значение $3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(3) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$3 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $6$ на $7$ .

$3 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$3 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $12$ и $1$ .

$3 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Этап 3.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $42$ на $13$ .

$3 (\frac{546}{6})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \frac{546}{3 (2)}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{546}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{546}{2}$

Этап 3.3.2.3

Разделим $546$ на $2$ .

$273$

Этап 4

Найдем значение $3 \sum_{k = 1}^{6} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 3) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $6$ и $1$ .

$- 3 \frac{6 \cdot 7}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $6$ на $7$ .

$- 3 (\frac{42}{2})$

Этап 4.3.3

Разделим $42$ на $2$ .

$- 3 \cdot 21$

Этап 4.3.4

Умножим $- 3$ на $21$ .

$- 63$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(1) (6)$

Этап 5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$273 - 63 + 6$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $63$ из $273$ .

$210 + 6$

Этап 7.2

Добавим $210$ и $6$ .

$216$