Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x + \frac{2}{x}$ , $x = 2$

Этап 1

По правилу суммы производная $5 x + \frac{2}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 + 2 (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 - 2 x^{- 2}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$5 + \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{2}{x^{2}} + 5$

Этап 6

Найдем производную в $x = 2$ .

$- \frac{2}{{(2)}^{2}} + 5$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $2$ и ${(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{{(2)}^{2}} + 5$

Этап 7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из ${(2)}^{2}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 \cdot 2} + 5$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 5$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} + 5$

Этап 7.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 5 \cdot 2}{2}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{- 1 + 10}{2}$

Этап 7.5.2

Добавим $- 1$ и $10$ .

$\frac{9}{2}$