Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} (x - 10) (x + 1)}{(x - 5) (x + 8)} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 10$

$x = - 1$

$x = 5$

$x = - 8$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, 10, - 1, 5, - 8$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x^{2} (x - 10) (x + 1)}{(x - 5) (x + 8)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} (x - 10) (x + 1)}{(x - 5) (x + 8)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 5) (x + 8) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 10.2.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 10.2.3

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 10.2.3.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 5, - 8$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 5$

$5 < x < 10$

$x > 10$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 10)}^{2} ((- 10) - 10) ((- 10) + 1)}{((- 10) - 5) ((- 10) + 8)} \geq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $600$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} ((- 4) - 10) ((- 4) + 1)}{((- 4) - 5) ((- 4) + 8)} \geq 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 18.\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} ((- 0.5) - 10) ((- 0.5) + 1)}{((- 0.5) - 5) ((- 0.5) + 8)} \geq 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $0.03\overline{18}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2} ((2) - 10) ((2) + 1)}{((2) - 5) ((2) + 8)} \geq 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $3.2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Проверим значение на интервале $5 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Выберем значение на интервале $5 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 12.5.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(8)}^{2} ((8) - 10) ((8) + 1)}{((8) - 5) ((8) + 8)} \geq 0$

Этап 12.5.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.6

Проверим значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Выберем значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 12.6.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(12)}^{2} ((12) - 10) ((12) + 1)}{((12) - 5) ((12) + 8)} \geq 0$

Этап 12.6.3

Левая часть $26.7\overline{428571}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.7

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Истина

$5 < x < 10$ Ложь

$x > 10$ Истина

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Истина

$5 < x < 10$ Ложь

$x > 10$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 8$ или $- 1 \leq x \leq 0$ или $0 \leq x < 5$ или $x \geq 10$

Этап 14

Объединим интервалы.

$x < - 8 or - 1 \leq x < 5 or x \geq 10$

Этап 15

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 8) \cup [- 1, 5) \cup [10, \infty)$

Этап 16