Математический анализ Примеры

$| \frac{3 π}{4} |$

Этап 1

$\frac{3 π}{4}$ приблизительно равно $2.35619449$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{3 π}{4}$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = \frac{3 π}{4}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

Этап 5

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 π}{4}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(3 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 5.2.2

Применим правило умножения к $3 π$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 5.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{9 π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 5.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{9 π^{2}}{16}}$

Этап 5.5

Добавим $0$ и $\frac{9 π^{2}}{16}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{9 π^{2}}{16}}$

Этап 5.6

Перепишем $\sqrt{\frac{9 π^{2}}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем $9 π^{2}$ в виде ${(3 π)}^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{{(3 π)}^{2}}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{3 π}{\sqrt{16}}$

Этап 5.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| z | = \frac{3 π}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 5.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{3 π}{4}$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})$

Этап 7

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})$ и $| z | = \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{3 π}{4 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{3 π}{4}})))}$