Математический анализ Примеры

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} ({(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Этап 2.4

Объединим.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Этап 2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ и $\cos^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\sin (θ) \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель $\sin^{2} (θ)$ и $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.3

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ в числитель.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Этап 2.6.3.2

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Этап 2.6.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Этап 2.6.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \sin (θ)$

Этап 3

Запишем $- \cos (θ) \sin (θ)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Этап 4

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ на $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 5

Умножим $- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) - \cos^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $- (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 \cdot 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.4

Умножим $- - {\sin (θ)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.4.2

Умножим ${\sin (θ)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\sin (θ) (0 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Этап 7.1.6

Добавим $0$ и ${\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) {\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

Этап 7.2

Умножим $\sin (θ)$ на ${\sin (θ)}^{2}$ , сложив экспоненты.

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 8

Перепишем $\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$ в виде $\tan (θ) \sin^{2} (θ)$ .

$\tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$ — тождество