Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$

Этап 1

Возьмем производную от $\int_{1}^{2 x} \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [2 x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{{(2 x)}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{{(2 (x))}^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$2 \frac{2^{2} x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Этап 2.3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 x)}^{2} + 1}$

Этап 2.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{{(2 (x))}^{2} + 1}$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{2^{2} x^{2} + 1}$

Этап 2.3.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$

Этап 2.3.6

Объединим $2$ и $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (4 x^{2})}{4 x^{2} + 1}$

Этап 2.3.7

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x^{2}}{4 x^{2} + 1}$