Математический анализ Примеры

$\int_{x}^{x^{2}} t^{2} d t$

Этап 1

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $x$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\int_{x}^{c} t^{2} d t + \int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Этап 3

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} t^{2} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Этап 4

Возьмем производную от $- \int_{c}^{x} t^{2} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t]$

Этап 5

Возьмем производную от $\int_{c}^{x^{2}} t^{2} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] {(x^{2})}^{2}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} + 2 x {(x^{2})}^{2}$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- x^{2} + 2 x \cdot x^{4}$

Этап 7

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x)$

Этап 7.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} + 2 (x^{4} x^{1})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2} + 2 x^{4 + 1}$

Этап 7.3

Добавим $4$ и $1$ .

$- x^{2} + 2 x^{5}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$2 x^{5} - x^{2}$