Математический анализ Примеры

$\int_{- x}^{x} (t^{2} + t) d t$

Этап 1

Разобьем интеграл на два интеграла, где $c$ — некоторое значение между $- x$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Этап 3

Заменим пределы интегрирования.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Этап 4

Возьмем производную от $- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [- x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - ({(- x)}^{2} - x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Этап 6

Возьмем производную от $\int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа.

$- - ({(- x)}^{2} - x) + x^{2} + x$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- - ({(- (x))}^{2} - x) + x^{2} + x$

Этап 7.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило умножения к $- (x)$ .

$- - ({(- 1)}^{2} x^{2} - x) + x^{2} + x$

Этап 7.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- - (1 x^{2} - x) + x^{2} + x$

Этап 7.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- - (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Этап 7.2.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Этап 7.2.5

Умножим $x^{2} - x$ на $1$ .

$x^{2} - x + x^{2} + x$

Этап 7.3

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x + x$

Этап 7.4

Добавим $- x$ и $x$ .

$2 x^{2} + 0$

Этап 7.5

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$2 x^{2}$