Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(12-x)}^{\frac{1}{3}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=12-x}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 12-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[12\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 12}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 12}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle {(12-x)}^{\frac{1}{3}}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle {(12-x)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3{(12-x)}^{\frac{2}{3}}}{3{(12-x)}^{\frac{2}{3}}}}$.

Объединим ${\displaystyle {(12-x)}^{\frac{1}{3}}}$ и ${\displaystyle \frac{3{(12-x)}^{\frac{2}{3}}}{3{(12-x)}^{\frac{2}{3}}}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle {(12-x)}^{\frac{1}{3}}}$ на ${\displaystyle {(12-x)}^{\frac{2}{3}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle {(12-x)}^1\cdot 3}$.

Перенесем ${\displaystyle 3}$ влево от ${\displaystyle 12-x}$.

Упростим.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{4}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{4(x-9)}{3{(12-x)}^{\frac{2}{3}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{4}{3}\frac{d}{dx}\left[\frac{x-9}{{(12-x)}^{\frac{2}{3}}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x-9}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(12-x)}^{\frac{2}{3}}}$.

Продифференцируем.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=12-x}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 12-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[12\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 12}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 12}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Умножим.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Объединим дроби.