Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} + \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 2.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 2.1.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 2.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2.3.4

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 2.2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 2.2.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 2.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 2.2.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.2.3.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 2.2.3.13

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 2.2.3.13.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 2.2.3.13.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.2.3.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.2.3.13.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.13.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 2.2.3.13.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 2.2.3.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 2.2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.2.3.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.2.3.16

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{- 3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$

Этап 3.2.2

Так как $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 4, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 4, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 3.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 3.2.9

НОК $x^{3}, x^{\frac{3}{2}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{3}$

Этап 3.2.10

НОК $x^{3}, 4 x^{\frac{3}{2}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 x^{3}$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ умножим на $4 x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ на $4 x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (4 x^{3}) - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $4 \frac{2}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$8 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ в числитель.

$8 + \frac{- 1}{4 x^{\frac{3}{2}}} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ из $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (4 x^{3}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.4.3

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ из $4 x^{3}$ .

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (1)} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 (x^{\frac{3}{2}})) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 \cdot 1} (x^{\frac{3}{2}} \cdot 4 x^{\frac{3}{2}}) = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 (4 x^{3})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $0 (4 x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0 x^{3}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{3}$ .

$8 - x^{\frac{3}{2}} = 0$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- x^{\frac{3}{2}} = - 8$

Этап 3.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Упростим ${(- x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.3.2

Умножим ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.1.1.4

Упростим.

$x = {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Упростим ${(- 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1.1

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$x = {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.4.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = {(- 2)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = 4$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $4$ в $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{4}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.1.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4) = \frac{1}{4} + 2$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (4) = \frac{1 + 8}{4}$

Этап 4.1.2.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$f (4) = \frac{9}{4}$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Этап 4.2

Подставляя $4$ в $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ , найдем точку $(4, \frac{9}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, \frac{9}{4})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{2}{{(3.9)}^{3}} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $3.9$ в степень $3$ .

$f'' (3.9) = \frac{2}{59.319} - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $2$ на $59.319$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 {(3.9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Перепишем $3.9$ в виде ${1.97484176}^{2}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {({1.97484176}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 6.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 6.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot {1.97484176}^{3}}$

Этап 6.2.1.3.4

Возведем $1.97484176$ в степень $3$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{4 \cdot 7.70188288}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $4$ на $7.70188288$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - \frac{1}{30.80753154}$

Этап 6.2.1.5

Разделим $1$ на $30.80753154$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 1 \cdot 0.03245959$

Этап 6.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0.03245959$ .

$f'' (3.9) = 0.03371601 - 0.03245959$

Этап 6.2.2

Вычтем $0.03245959$ из $0.03371601$ .

$f'' (3.9) = 0.00125641$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.00125641$ .

$0.00125641$

Этап 6.3

При $3.9$ вторая производная имеет вид $0.00125641$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 4)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 4)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.1$ .

$f'' (4.1) = \frac{2}{{(4.1)}^{3}} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $4.1$ в степень $3$ .

$f'' (4.1) = \frac{2}{68.921} - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $2$ на $68.921$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 {(4.1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Перепишем $4.1$ в виде ${2.02484567}^{2}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {({2.02484567}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 7.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 7.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot {2.02484567}^{3}}$

Этап 7.2.1.3.4

Возведем $2.02484567$ в степень $3$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{4 \cdot 8.30186725}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $4$ на $8.30186725$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - \frac{1}{33.20746903}$

Этап 7.2.1.5

Разделим $1$ на $33.20746903$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 1 \cdot 0.0301137$

Этап 7.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0.0301137$ .

$f'' (4.1) = 0.02901873 - 0.0301137$

Этап 7.2.2

Вычтем $0.0301137$ из $0.02901873$ .

$f'' (4.1) = - 0.00109497$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 0.00109497$ .

$- 0.00109497$

Этап 7.3

При $4.1$ вторая производная имеет вид $- 0.00109497$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(4, \infty)$ .

Убывание на $(4, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(4, \frac{9}{4})$ .

$(4, \frac{9}{4})$

Этап 9